在统计中，我们不仅关心数据的平均水平（如平均数），还关心数据的波动程度——也就是数据之间的差异有多大。波动越小，说明数据越集中、越稳定；波动越大，说明数据越分散。

极差是最简单的衡量波动的方法，它等于一组数据中的最大值减去最小值：

例如，数据 3, 5, 7 的极差是 $7 - 3 = 4$。极差计算简单，但只考虑了两个极端值，忽略了中间数据的情况。

为了更全面地反映所有数据的波动情况，我们引入方差。方差是各个数据与平均数之差的平方的平均数。设一组数据为 $x_1, x_2, \dots, x_n$，其平均数为 $\bar{x}$，则方差 $s^2$ 的公式为：

方差越大，说明数据越分散；方差越小，说明数据越集中。初中阶段通常使用这个“总体方差”公式（除以 $n$）。注意：方差的单位是原数据单位的平方，因此有时会用标准差（方差的算术平方根）来更直观地表示波动。

• 极差公式：$\text{极差} = \text{最大值} - \text{最小值}$
  示例：数据 2, 6, 4, 9 的极差是 $9 - 2 = 7$。

• 方差公式：$s^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2$
  示例：数据 1, 3, 5 的平均数 $\bar{x} = 3$，方差为 $\frac{(1-3)^2 + (3-3)^2 + (5-3)^2}{3} = \frac{4 + 0 + 4}{3} = \frac{8}{3}$。

例题1（基础）：某小组5名同学的数学测验成绩为：80, 85, 90, 75, 95。求这组数据的极差和方差。

解：

1. 极差 = 最大值 - 最小值 = $95 - 75 = 20$。
2. 先求平均数：$\bar{x} = \frac{80 + 85 + 90 + 75 + 95}{5} = \frac{425}{5} = 85$。
3. 计算每个数据与平均数的差的平方：
   • $(80 - 85)^2 = 25$
   • $(85 - 85)^2 = 0$
   • $(90 - 85)^2 = 25$
   • $(75 - 85)^2 = 100$
   • $(95 - 85)^2 = 100$
4. 方差：$s^2 = \frac{25 + 0 + 25 + 100 + 100}{5} = \frac{250}{5} = 50$。

答：极差是20，方差是50。

例题2（应用）：甲、乙两名射击运动员各射靶5次，成绩如下（单位：环）：

• 甲：9, 8, 9, 10, 9
• 乙：7, 10, 8, 10, 10

谁的成绩更稳定？

解：

1. 分别计算两人的平均数：
   • 甲：$\bar{x}_甲 = \frac{9+8+9+10+9}{5} = \frac{45}{5} = 9$
   • 乙：$\bar{x}_乙 = \frac{7+10+8+10+10}{5} = \frac{45}{5} = 9$
2. 计算方差：
   • 甲：$s_甲^2 = \frac{(9-9)^2 + (8-9)^2 + (9-9)^2 + (10-9)^2 + (9-9)^2}{5} = \frac{0+1+0+1+0}{5} = \frac{2}{5} = 0.4$
   • 乙：$s_乙^2 = \frac{(7-9)^2 + (10-9)^2 + (8-9)^2 + (10-9)^2 + (10-9)^2}{5} = \frac{4+1+1+1+1}{5} = \frac{8}{5} = 1.6$
3. 比较方差：$0.4 < 1.6$，说明甲的成绩波动更小，更稳定。

答：甲的成绩更稳定。

• 混淆极差与范围：极差是“最大值减最小值”，不是“最大值加最小值”或“数据个数”。记住：极差 = 大 − 小。
• 计算方差时忘记先求平均数：必须先算出平均数 $\bar{x}$，再用每个数据减去它。不能直接用原始数据平方后求平均。
• 平方差符号错误：$(x_i - \bar{x})^2$ 总是非负的，即使 $x_i < \bar{x}$，平方后也是正数。不要漏掉平方或写成负数。
• 方差公式中除以 $n-1$：初中阶段使用总体方差，应除以数据个数 $n$，而不是 $n-1$（那是高中样本方差的内容）。
• 忽略单位意义：方差的单位是原单位的平方（如成绩方差单位是“分²”），若需同单位比较，应使用标准差（但初中一般只需比较方差大小即可判断稳定性）。