标准解方程五步：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1

📘 一元一次方程·
⭐⭐

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💡 例题

1

设a,a,、b,b,和tt为实数，且满足a+b=t.a + b = t.。用t,t,表示a2+b2.a^2 + b^2.的最小值。

  1. 由均方根—算术平均不等式（QM-AM）得：
a2+b22≥a+b2=t2.\sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}} \ge \frac{a + b}{2} = \frac{t}{2}.
  1. 于是
a2+b22≥t24,\frac{a^2 + b^2}{2} \ge \frac{t^2}{4},

所以a2+b2≥t22.a^2 + b^2 \ge \frac{t^2}{2}. 3. 当且仅当a=b=t2,a = b = \frac{t}{2},时取等号，因此a2+b2a^2 + b^2的最小值是t22.\boxed{\frac{t^2}{2}}.

2

设x1,x_1,、x2,x_2,、…,\dots,、x100x_{100}为实数，且满足x1+x2+⋯+x100=1x_1 + x_2 + \dots + x_{100} = 1和

x11−x1+x21−x2+⋯+x1001−x100=1.\frac{x_1}{1 - x_1} + \frac{x_2}{1 - x_2} + \dots + \frac{x_{100}}{1 - x_{100}} = 1.

。求

x121−x1+x221−x2+⋯+x10021−x100.\frac{x_1^2}{1 - x_1} + \frac{x_2^2}{1 - x_2} + \dots + \frac{x_{100}^2}{1 - x_{100}}.

。

一般地，

x21−x=x2−x+x1−x=x(x−1)+x1−x=x1−x−x,\frac{x^2}{1 - x} = \frac{x^2 - x + x}{1 - x} = \frac{x(x - 1) + x}{1 - x} = \frac{x}{1 - x} - x,

所以 \begin{aligned} x121−x1\frac{x_1^2}{1 - x_1} + x221−x2\frac{x_2^2}{1 - x_2} + \dots + \frac{x_{100}^2}{1 - x_{100}} &= x11−x1\frac{x_1}{1 - x_1} + x21−x2\frac{x_2}{1 - x_2} + \dots + \frac{x_{100}}{1 - x_{100}} - (x_1 + x_2 + \dots + x_{100}) \ &= 1 - 1 \ &= \boxed{0}. \end{aligned}