多边形是由三条或更多条线段首尾顺次连接组成的封闭图形。我们先从三角形开始：三角形的内角和是 $180^\circ$。那么四边形呢？可以把一个四边形从一个顶点出发画一条对角线，把它分成两个三角形，所以内角和就是 $2 \times 180^\circ = 360^\circ$。同理，五边形可以分成三个三角形，内角和是 $3 \times 180^\circ = 540^\circ$。观察规律：n 边形可以被分成 $(n-2)$ 个三角形，因此 n 边形的内角和公式为：

其中 $n$ 是边数（也是顶点数），且 $n \geq 3$。

另外，多边形的外角是指在每个顶点处，延长一边所形成的与内角相邻的角。对于任意凸多边形（包括三角形、四边形等），所有外角的和恒等于 $360^\circ$，与边数无关。这一点非常神奇，也非常重要！

• 内角和公式：$(n - 2) \times 180^\circ$
  示例：六边形（$n=6$）内角和为 $(6-2) \times 180^\circ = 720^\circ$

• 外角和定理：任意凸多边形的外角和 = $360^\circ$
  示例：正五边形每个外角为 $360^\circ \div 5 = 72^\circ$

• 正多边形每个内角：$\dfrac{(n - 2) \times 180^\circ}{n}$
  示例：正八边形每个内角为 $\dfrac{(8-2) \times 180^\circ}{8} = 135^\circ$

例题1：求一个十边形的内角和。
解：

1. 确定边数 $n = 10$。
2. 代入内角和公式：$(n - 2) \times 180^\circ = (10 - 2) \times 180^\circ = 8 \times 180^\circ = 1440^\circ$。
3. 答：十边形的内角和是 $1440^\circ$。

例题2：一个正多边形的每个外角是 $30^\circ$，它是几边形？
解：

1. 利用外角和定理：所有外角和为 $360^\circ$。
2. 设边数为 $n$，则 $n \times 30^\circ = 360^\circ$。
3. 解得 $n = 360^\circ \div 30^\circ = 12$。
4. 答：这是一个正十二边形。

• 混淆内角和与外角和：误以为外角和随边数变化。记住：外角和永远是 $360^\circ$（仅限凸多边形）。
• 忘记 $n \geq 3$：不能对 $n=1$ 或 $n=2$ 使用公式，因为不存在一、二边形。
• 计算错误：如把 $(n-2) \times 180$ 算成 $n - 360$。建议先算括号再乘。
• 正多边形内角公式记错：正确是 $\dfrac{(n-2) \times 180^\circ}{n}$，不是 $\dfrac{180^\circ}{n}$。