二次根式加减乘除运算、混合化简求值

📘 二次根式·
⭐⭐⭐

讲解生成中，敬请期待...

💡 例题

1

对于实数x>1,x > 1,，求

x+8x−1.\frac{x + 8}{\sqrt{x - 1}}.

的最小值。

  1. 设y=x−1.y = \sqrt{x - 1}.。
  2. 那么y2=x−1,y^2 = x - 1,，所以x=y2+1.x = y^2 + 1.。
  3. 于是
x+8x−1=y2+9y=y+9y.\frac{x + 8}{\sqrt{x - 1}} = \frac{y^2 + 9}{y} = y + \frac{9}{y}.
  1. 由均值不等式（AM-GM），
y+9y≥6.y + \frac{9}{y} \ge 6.
  1. 等号成立当且仅当y=3,y = 3,或x=10,x = 10,，因此最小值是6.\boxed{6}.。