矩形是一种特殊的平行四边形，它的四个角都是直角（即 $90^\circ$）。因为矩形首先是平行四边形，所以它具备平行四边形的所有性质：对边平行且相等、对角线互相平分。此外，矩形还有两个重要特性：（1）四个内角都是直角；（2）两条对角线长度相等。也就是说，若四边形 $ABCD$ 是矩形，则有 $\angle A = \angle B = \angle C = \angle D = 90^\circ$，且对角线 $AC = BD$。

反过来，如何判断一个四边形是矩形呢？有两种常用判定方法：（1）如果一个平行四边形有一个角是直角，那么它是矩形；（2）如果一个平行四边形的对角线相等，那么它也是矩形。此外，也可以直接从四边形出发：若一个四边形有三个角是直角，那么第四个角也必然是直角，因此这个四边形就是矩形。

• 矩形对角线相等：若 $ABCD$ 是矩形，则 $AC = BD$。
  • 示例：矩形长为6 cm，宽为8 cm，则对角线长为 $\sqrt{6^2 + 8^2} = 10\text{ cm}$。
• 矩形面积公式：面积 $S = 长 \times 宽 = ab$。
  • 示例：长5 cm，宽3 cm 的矩形，面积为 $5 \times 3 = 15\text{ cm}^2$。
• 矩形周长公式：周长 $C = 2(a + b)$。
  • 示例：长7 cm，宽4 cm 的矩形，周长为 $2(7 + 4) = 22\text{ cm}$。

例题1：已知平行四边形 $ABCD$ 中，$\angle A = 90^\circ$，求证：$ABCD$ 是矩形。

解：

1. 因为 $ABCD$ 是平行四边形，所以对角相等，邻角互补。
2. 已知 $\angle A = 90^\circ$，则其对角 $\angle C = \angle A = 90^\circ$。
3. 邻角 $\angle B = 180^\circ - \angle A = 90^\circ$，同理 $\angle D = 90^\circ$。
4. 所以四个角都是直角，故 $ABCD$ 是矩形。

例题2：在平行四边形 $ABCD$ 中，对角线 $AC = 10\text{ cm}$，$BD = 10\text{ cm}$。判断该平行四边形是否为矩形，并说明理由。

解：

1. 已知 $ABCD$ 是平行四边形，且对角线 $AC = BD = 10\text{ cm}$。
2. 根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形。
3. 因此，$ABCD$ 是矩形。

• 误认为所有对角线相等的四边形都是矩形：只有当四边形是平行四边形且对角线相等时，才是矩形。一般四边形即使对角线相等也不一定是矩形（如等腰梯形）。
• 混淆矩形与正方形的性质：正方形是特殊的矩形，但矩形不一定是正方形。不要把“四边相等”当成矩形的性质。
• 忽略前提条件：使用“有一个直角的平行四边形是矩形”时，必须先确认图形是平行四边形，不能直接用于任意四边形。
• 计算对角线时忘记用勾股定理：矩形对角线长度需用 $d = \sqrt{a^2 + b^2}$ 计算，不能直接相加边长。