平方差公式

📘 整式的乘法与因式分解·
⭐⭐
·(a+b)(a-b)=a²-b²

🎯 学习目标

  • 理解平方差公式的结构与含义
  • 能熟练运用平方差公式进行整式乘法和因式分解
  • 识别可应用平方差公式的代数式并正确变形

📚 核心概念

平方差公式是整式乘法中的一个重要恒等式，表达为 (a+b)(a−b)=a2−b2(a + b)(a - b) = a^2 - b^2。这个公式告诉我们：两个数的和与这两个数的差的乘积，等于这两个数的平方之差。

我们可以从几何角度理解它：想象一个边长为 aa 的大正方形，从中剪去一个边长为 bb 的小正方形（a>ba > b），剩下的面积就是 a2−b2a^2 - b^2。这个剩余图形可以重新拼成一个长为 a+ba + b、宽为 a−ba - b 的矩形，其面积正好是 (a+b)(a−b)(a + b)(a - b)，因此两者相等。

在代数运算中，平方差公式常用于简化乘法或进行因式分解。例如，计算 (x+3)(x−3)(x + 3)(x - 3) 可直接得 x2−9x^2 - 9；反过来，若看到 x2−25x^2 - 25，也能立刻分解为 (x+5)(x−5)(x + 5)(x - 5)。

注意：公式成立的关键是两个因式中一项相同（如 aa），另一项互为相反数（如 +b+b 和 −b-b）。

📝 关键公式

  • 平方差公式：(a+b)(a−b)=a2−b2(a + b)(a - b) = a^2 - b^2

    • 示例：(2x+1)(2x−1)=(2x)2−12=4x2−1(2x + 1)(2x - 1) = (2x)^2 - 1^2 = 4x^2 - 1

  • 逆用公式（因式分解）：a2−b2=(a+b)(a−b)a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)

    • 示例：9y2−16=(3y)2−42=(3y+4)(3y−4)9y^2 - 16 = (3y)^2 - 4^2 = (3y + 4)(3y - 4)

💡 经典例题

例题1（基础应用）：计算 (5+x)(5−x)(5 + x)(5 - x)。

解：

  1. 观察形式：这是 (a+b)(a−b)(a + b)(a - b) 的结构，其中 a=5a = 5，b=xb = x。
  2. 直接套用平方差公式：(5+x)(5−x)=52−x2(5 + x)(5 - x) = 5^2 - x^2。
  3. 计算平方：=25−x2= 25 - x^2。
  4. 答案：25−x225 - x^2。

例题2（因式分解）：将 4m2−9n24m^2 - 9n^2 分解因式。

解：

  1. 观察是否为平方差形式：两项都是平方项，且中间是减号。
  2. 写成平方形式：4m2=(2m)24m^2 = (2m)^2，9n2=(3n)29n^2 = (3n)^2，所以原式 =(2m)2−(3n)2= (2m)^2 - (3n)^2。
  3. 应用平方差公式逆向：=(2m+3n)(2m−3n)= (2m + 3n)(2m - 3n)。
  4. 答案：(2m+3n)(2m−3n)(2m + 3n)(2m - 3n)。

⚠️ 易错点

  • 混淆平方差与完全平方公式：平方差是 (a+b)(a−b)=a2−b2(a+b)(a-b)=a^2-b^2，而 (a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2。避免方法：看清括号内是“一同一反”还是“两个相同”。

  • 忽略符号：如把 (x−3)(x+3)(x - 3)(x + 3) 错写成 x2+9x^2 + 9。正确应为 x2−9x^2 - 9。避免方法：牢记结果是“平方相减”，不是相加。

  • 未识别隐含平方：如 16−y216 - y^2 没看出是 42−y24^2 - y^2。避免方法：先判断各项是否为完全平方数或完全平方式。

  • 错误处理系数：如 (3x+2)(3x−2)(3x + 2)(3x - 2) 错算成 3x2−43x^2 - 4。正确应为 (3x)2−22=9x2−4(3x)^2 - 2^2 = 9x^2 - 4。避免方法：整个项（包括系数）都要平方。

💡 例题

1

将w4−16w^4-16尽可能分解因式，要求每个因式都是首项系数为1、系数为实数的多项式。

  1. 因为w4w^4和16都是完全平方数，所以可用平方差公式分解：
w4−16=(w2)2−42=(w2−4)(w2+4)w^4-16=(w^2)^2 - 4^2 = (w^2-4)(w^2+4)

。 2. 还没结束！表达式w2−4w^2 - 4也是平方差，可继续分解为w2−4=(w−2)(w+2)w^2 - 4=(w-2)(w+2)。 3. 所以，最终结果是

w4−16=(w2−4)(w2+4)=(w−2)(w+2)(w2+4)w^4-16 = (w^2-4)(w^2+4) = \boxed{(w-2)(w+2)(w^2+4)}

。

2

找一个次数为4,4,、首项系数为1、系数都是有理数的关于x,x,的多项式，使得2+3\sqrt{2} +\sqrt{3}是它的一个根。

  1. 先构造一个以2+3\sqrt{2} +\sqrt{3}和2−3\sqrt{2} - \sqrt{3}为根的二次多项式。
  2. 两根之和是2+3+2−3=22.\sqrt{2} +\sqrt{3}+\sqrt{2} -\sqrt{3}=2\sqrt{2}.。
  3. 两根之积是(2+3)(2−3)=2−3=−1.(\sqrt{2} +\sqrt{3})(\sqrt{2} -\sqrt{3})=2-3=-1.。
  4. 因此，以2+3\sqrt{2} +\sqrt{3}和2−3\sqrt{2} -\sqrt{3}为根的二次多项式是x2−22x−1.x^2-2\sqrt{2}x-1.。
  5. 接下来，我们要消去无理系数。可以把x2−22x−1x^2-2\sqrt{2}x-1写成x2−1−22xx^2-1-2\sqrt{2}x。
  6. 再乘以x2−1+22xx^2-1+2\sqrt{2}x，得到 (x2−1−22x)(x2−1+22x)=(x2−1)2−(22x)2=x4−10x2+1(x^2-1-2\sqrt{2}x)(x^2-1+2\sqrt{2}x)=(x^2-1)^2-(2\sqrt{2}x)^2=\boxed{x^4-10x^2+1} 这是一个次数为44、首项系数为1、系数全是有理数的多项式，且2+3\sqrt{2} +\sqrt{3}是它的一个根。

✏️ 练习

1

求一个次数为4,4,、关于x,x,的首一多项式，其系数为有理数，且2+3\sqrt{2} +\sqrt{3}是它的一个根。

2

在整系数多项式范围内，将下式完全因式分解：

4(x+5)(x+6)(x+10)(x+12)−3x2.4(x + 5)(x + 6)(x + 10)(x + 12) - 3x^2.
3

设

x8−98x4+1=p(x)q(x),x^8 - 98x^4 + 1 = p(x) q(x),

，其中p(x)p(x)和q(x)q(x)都是首一的、非常数的整系数多项式。求p(1)+q(1).p(1) + q(1).。

4

表达式64x6−729y664x^6-729y^6可以因式分解为(ax+by)(cx2+dxy+ey2)(fx+gy)(hx2+jxy+ky2)(ax+by)(cx^2+dxy+ey^2)(fx+gy)(hx^2+jxy+ky^2)。如果aa、bb、cc、dd、ee、ff、gg、hh、jj和kk都是整数，求它们的和。

5

因式分解：

(a2−b2)3+(b2−c2)3+(c2−a2)3(a−b)3+(b−c)3+(c−a)3.\frac{(a^2 - b^2)^3 + (b^2 - c^2)^3 + (c^2 - a^2)^3}{(a - b)^3 + (b - c)^3 + (c - a)^3}.