勾股定理指出：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，即 $a^2 + b^2 = c^2$。这个定理不仅可以用来求直角三角形的边长，还能帮助我们计算平面上任意两点之间的直线距离。

在平面直角坐标系中，若点 $A(x_1, y_1)$ 和点 $B(x_2, y_2)$，则它们之间的距离为：

这个公式就是由勾股定理推导出来的。

在立体几何中，比如一个长方体，内部两点间的最短距离（即空间对角线）也可以用勾股定理的推广形式计算。设长方体的长、宽、高分别为 $l$、$w$、$h$，则其空间对角线长度为：

此外，在解决“最短路径”问题时（如蚂蚁从长方体一个顶点爬到对面顶点），常需要将立体图形表面展开成平面，再构造直角三角形，利用勾股定理求解。

• 平面两点间距离公式：若 $A(x_1, y_1)$，$B(x_2, y_2)$，则 $AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$。例如：$A(0,0)$，$B(3,4)$，则 $AB = \sqrt{(3-0)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{9+16} = 5$。
• 空间对角线公式（长方体）：$d = \sqrt{l^2 + w^2 + h^2}$。例如：长方体长3、宽4、高12，则对角线 $d = \sqrt{3^2 + 4^2 + 12^2} = \sqrt{9+16+144} = \sqrt{169} = 13$。
• 展开图最短路径：将立体表面展开为平面后，用勾股定理 $c = \sqrt{a^2 + b^2}$ 计算路径。

例题1（平面距离）：小明从家（坐标原点 $(0,0)$）出发，向东走6米，再向北走8米到达学校。求小明家到学校的直线距离。

解题步骤：

1. 家在 $(0,0)$，学校在 $(6,8)$。
2. 应用平面距离公式：$d = \sqrt{(6-0)^2 + (8-0)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$。
3. 答：直线距离是10米。

例题2（立体最短路径）：一个长方体盒子长3 cm、宽4 cm、高12 cm。一只蚂蚁从底面一个顶点A出发，沿表面爬到顶面相对的顶点B，求它爬行的最短路径。

解题步骤：

1. 将长方体侧面展开。有多种展开方式，需比较不同路径。
2. 常见展开：把前面和右面展开成一个大矩形，此时水平距离为 $3+4=7$ cm，竖直距离为12 cm。
3. 或把前面和上面展开：水平为3 cm，竖直为 $4+12=16$ cm。
4. 或把左面和上面展开：水平为 $4+3=7$ cm，竖直12 cm（同第一种）。
5. 计算各路径长度：
   • 路径1：$\sqrt{7^2 + 12^2} = \sqrt{49 + 144} = \sqrt{193} \approx 13.89$
   • 路径2：$\sqrt{3^2 + 16^2} = \sqrt{9 + 256} = \sqrt{265} \approx 16.28$
   • 路径3（底面+后面）：$\sqrt{(3+12)^2 + 4^2} = \sqrt{225 + 16} = \sqrt{241} \approx 15.52$
6. 最短的是 $\sqrt{193}$ cm。
7. 答：最短路径约为13.89厘米（或保留根号形式 $\sqrt{193}$ cm）。

• 混淆空间对角线与表面路径：空间对角线是穿过内部的直线（用 $\sqrt{l^2+w^2+h^2}$），而蚂蚁爬行必须沿表面，需展开图形。避免方法：看清题目是否“沿表面”。
• 展开方式遗漏：最短路径可能对应不同展开方式。避免方法：尝试所有合理的展开组合，比较结果。
• 坐标差符号错误：计算 $(x_2 - x_1)^2$ 时误用绝对值或顺序颠倒。其实平方后结果相同，但要养成规范写法。
• 单位不统一：题目中长度单位不同（如米和厘米）未换算。避免方法：先统一单位再计算。
• 忘记开平方：算出 $a^2 + b^2$ 后直接当作距离。避免方法：牢记勾股定理最终要求的是斜边 $c = \sqrt{a^2 + b^2}$。