二次根式的乘除是代数运算中的重要内容。首先，乘法法则：两个非负数的二次根式相乘，等于它们被开方数的乘积的二次根式，即

。例如，$\sqrt{2} \cdot \sqrt{8} = \sqrt{16} = 4$。

其次，除法法则：两个非负数的二次根式相除（除数不为零），等于它们被开方数的商的二次根式，即

。例如，$\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}} = \sqrt{9} = 3$。

在实际计算中，常常遇到分母含有根号的情况，这时需要进行分母有理化——通过乘以适当的因式，使分母变为有理数。最常见的是形如 $\frac{1}{\sqrt{a}}$ 的式子，可分子分母同乘 $\sqrt{a}$，得到 $\frac{\sqrt{a}}{a}$。对于更复杂的形式如 $\frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$，则利用平方差公式，乘以共轭 $\sqrt{a} - \sqrt{b}$ 来有理化。

• 乘法法则：$\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$（$a \geq 0, b \geq 0$）

  • 示例：$\sqrt{3} \cdot \sqrt{12} = \sqrt{36} = 6$

• 除法法则：$\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\dfrac{a}{b}}$（$a \geq 0, b > 0$）

  • 示例：$\dfrac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}} = \sqrt{25} = 5$

• 分母有理化（单根号）：$\dfrac{1}{\sqrt{a}} = \dfrac{\sqrt{a}}{a}$（$a > 0$）

  • 示例：$\dfrac{3}{\sqrt{5}} = \dfrac{3\sqrt{5}}{5}$

• 分母有理化（两项和）：$\dfrac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \dfrac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{a - b}$（$a \neq b, a,b \geq 0$）

  • 示例：$\dfrac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{3 - 2} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$

例题1（基础）：计算 $\sqrt{6} \cdot \sqrt{24}$。

解：

1. 应用乘法法则：$\sqrt{6} \cdot \sqrt{24} = \sqrt{6 \times 24}$
2. 计算被开方数：$6 \times 24 = 144$
3. 开方：$\sqrt{144} = 12$

所以结果是 $12$。

例题2（进阶）：化简 $\dfrac{5}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}$。

解：

1. 分母是两项差，使用共轭有理化。共轭为 $\sqrt{3} + \sqrt{2}$
2. 分子分母同乘共轭：

3. 计算分母：$(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2 = 3 - 2 = 1$
4. 结果为：$\dfrac{5(\sqrt{3} + \sqrt{2})}{1} = 5\sqrt{3} + 5\sqrt{2}$

所以化简结果是 $5\sqrt{3} + 5\sqrt{2}$。

• 错误1：忽略被开方数必须非负。例如误认为 $\sqrt{-4} \cdot \sqrt{-9} = \sqrt{36} = 6$。实际上，在实数范围内，负数没有平方根，该式无意义。避免方法：始终检查被开方数是否 ≥ 0。

• 错误2：分母有理化时漏乘分子。例如将 $\dfrac{2}{\sqrt{3}}$ 错写成 $\dfrac{2}{3}$。避免方法：记住分子分母要同时乘以相同的因式。

• 错误3：混淆乘法与加法。例如误以为 $\sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{a + b}$。这是错误的！只有乘法满足 $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$。避免方法：牢记根号内不能直接对加减法合并。

• 错误4：有理化后未化简。例如 $\dfrac{\sqrt{8}}{2}$ 不进一步化为 $\sqrt{2}$。避免方法：最后一步检查是否还能约分或开方。