等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。相等的两条边叫做腰，第三条边叫做底边；两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰所夹的两个角叫做底角。

等腰三角形有两个重要性质：

1. 等边对等角：如果一个三角形有两条边相等，那么它们所对的角也相等。即在 $\triangle ABC$ 中，若 $AB = AC$，则 $\angle B = \angle C$。
2. 三线合一：等腰三角形底边上的中线、高线和顶角的角平分线三条线段重合于同一条直线。这意味着从顶点向底边作垂线，它同时也是底边的中点连线和顶角的平分线。

反过来，也可以通过角的关系来判定一个三角形是否为等腰三角形：

• 等角对等边：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。即若 $\angle B = \angle C$，则 $AB = AC$。

这些性质和判定方法是解决许多几何证明和计算题的基础。

1. 等边对等角（性质）： 若 $AB = AC$，则 $\angle B = \angle C$。

示例：在 $\triangle ABC$ 中，已知 $AB = AC = 5\,\text{cm}$，则 $\angle B = \angle C$。

2. 等角对等边（判定）： 若 $\angle B = \angle C$，则 $AB = AC$。

示例：在 $\triangle ABC$ 中，若 $\angle B = \angle C = 70^\circ$，则 $AB = AC$。

3. 三线合一： 在等腰 $\triangle ABC$（$AB = AC$）中，从 $A$ 向底边 $BC$ 作的高、中线、角平分线是同一条线段。

示例：若 $AD \perp BC$ 且 $D$ 是 $BC$ 中点，则 $AD$ 也是 $\angle BAC$ 的平分线。

例题1（基础）： 在 $\triangle ABC$ 中，已知 $AB = AC$，且 $\angle A = 40^\circ$，求 $\angle B$ 和 $\angle C$ 的度数。

解题过程：

1. 因为 $AB = AC$，所以 $\triangle ABC$ 是等腰三角形。
2. 根据“等边对等角”，有 $\angle B = \angle C$。
3. 三角形内角和为 $180^\circ$，所以：

4. 代入已知：

5. 解得：$\angle B = \angle C = 70^\circ$。

例题2（进阶）： 如图，在 $\triangle ABC$ 中，点 $D$ 在边 $BC$ 上，且 $AD \perp BC$，$BD = DC$。求证：$\triangle ABC$ 是等腰三角形。

解题过程：

1. 已知 $AD \perp BC$，所以 $\angle ADB = \angle ADC = 90^\circ$。
2. 又已知 $BD = DC$，且 $AD$ 是公共边。
3. 在 $\triangle ABD$ 和 $\triangle ACD$ 中：
   • $AD = AD$（公共边）
   • $BD = DC$（已知）
   • $\angle ADB = \angle ADC = 90^\circ$
4. 所以 $\triangle ABD \cong \triangle ACD$（SAS 全等）。
5. 因此对应边相等：$AB = AC$。
6. 故 $\triangle ABC$ 是等腰三角形（有两边相等）。

• 误认为只要有两边相等就是任意三角形：实际上，等腰三角形特指“至少有两边相等”，包括等边三角形（三边都相等）作为特殊情况。要明确等边三角形是等腰三角形的一种。

• 混淆“等边对等角”与“等角对等边”的使用场景：前者用于已知边相等推角相等（性质），后者用于已知角相等推边相等（判定）。做题时要看清题目给出的是边还是角。

• 忽略“三线合一”只适用于底边：该性质中的高、中线、角平分线必须是从顶角顶点到底边的线段。若从底角作线段，则不一定重合。

• 在证明全等时漏写条件：例如使用 SAS 时，必须明确写出两边及其夹角分别相等，不能只说“因为垂直就全等”。

• 计算角度时忘记三角形内角和为 $180^\circ$：尤其是在已知顶角求底角或反之的情况下，务必用内角和列方程求解。