反比例函数是指两个变量 $x$ 和 $y$ 满足关系 $y = \dfrac{k}{x}$（其中 $k \neq 0$）的函数。这里的 $k$ 叫做比例系数，也称为常数。在现实生活中，很多现象都符合反比例关系，比如：路程一定时，速度和时间成反比；工作总量一定时，工作效率和所需时间成反比。

反比例函数的关键特征是：当一个量增大时，另一个量会相应减小，且它们的乘积始终保持不变，即 $xy = k$。这个不变的乘积就是建模的核心依据。

要解决反比例函数应用题，通常分三步：① 分析题目，找出哪两个量成反比例关系；② 利用已知条件求出比例系数 $k$；③ 写出函数表达式，并代入新条件求解未知量。

注意：实际问题中，变量通常有实际意义，因此要考虑定义域（如时间、长度不能为负或零）。

• 反比例函数一般式：$y = \dfrac{k}{x}$（$k \neq 0$）
  • 示例：若 $k = 12$，则函数为 $y = \dfrac{12}{x}$。
• 乘积恒等式：$xy = k$
  • 示例：若某车以速度 $v$ 行驶 $t$ 小时走完 60 千米，则 $vt = 60$，即 $v$ 与 $t$ 成反比。

例题1（基础）： 一辆汽车行驶一段固定路程 120 千米。若速度为 40 千米/小时，需要多少时间？若想在 2 小时内到达，速度至少是多少？

解题过程：

1. 路程固定，速度 $v$ 与时间 $t$ 成反比例关系，满足 $vt = 120$。
2. 当 $v = 40$ 时，代入得 $40t = 120$，解得 $t = 3$（小时）。
3. 若 $t = 2$，则 $v \cdot 2 = 120$，解得 $v = 60$（千米/小时）。 答：第一问需 3 小时；第二问速度至少为 60 千米/小时。

例题2（进阶）： 某工厂接到订单，需生产 600 件产品。若每天生产 $x$ 件，则完成任务所需天数为 $y$ 天。已知当每天生产 50 件时，刚好 12 天完成。 （1）写出 $y$ 关于 $x$ 的函数表达式； （2）若希望在 10 天内完成，每天至少要生产多少件？

解题过程：

1. 总量固定，$x$ 与 $y$ 成反比，满足 $xy = 600$。
2. （1）由 $xy = 600$ 得 $y = \dfrac{600}{x}$。
3. （2）当 $y = 10$ 时，代入得 $10x = 600$，解得 $x = 60$。 答：（1）$y = \dfrac{600}{x}$；（2）每天至少生产 60 件。

• 误判变量关系：不是所有“一个变大另一个变小”的情况都是反比例。必须验证乘积是否为定值。避免方法：先列出数据，计算 $xy$ 是否恒定。
• 忽略实际意义导致定义域错误：如时间、人数不能为负或零。避免方法：解题后检查答案是否符合实际。
• 混淆正比例与反比例：正比例是 $y = kx$，反比例是 $y = \dfrac{k}{x}$。避免方法：牢记“乘积不变”是反比例的核心。
• 未正确求出比例系数 $k$：有时题目不直接给出 $k$，需通过已知条件计算。避免方法：先用已知数据求出 $k = xy$，再代入新条件。