反比例函数是一种特殊的函数，它的表达式为 $y = \frac{k}{x}$，其中 $k$ 是一个不等于零的常数（即 $k \neq 0$），$x$ 是自变量，$y$ 是因变量。这个关系说明：当两个变量的乘积是一个固定非零常数时，它们成反比例关系。

例如，如果路程一定，速度越快，所需时间就越少；速度和时间就成反比例关系。

在反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 中，自变量 $x$ 不能为 0，因为除以 0 没有意义；同样，函数值 $y$ 也不会等于 0，因为 $k \neq 0$。因此，反比例函数的定义域是所有非零实数（$x \neq 0$），值域也是所有非零实数（$y \neq 0$）。

常数 $k$ 决定了函数图像的位置和形状：当 $k > 0$ 时，图像位于第一、第三象限；当 $k < 0$ 时，图像位于第二、第四象限。无论 $k$ 是正还是负，图像都是双曲线，且永远不会与坐标轴相交。

• 反比例函数的一般形式：$y = \dfrac{k}{x}$（其中 $k \neq 0$）

  • 示例：$y = \dfrac{6}{x}$ 是一个反比例函数，$k = 6$

• 变形形式：$xy = k$（$k \neq 0$）

  • 示例：若 $xy = -4$，则可写成 $y = \dfrac{-4}{x}$，这也是反比例函数

例题1：判断下列函数是否为反比例函数，并说明理由。 （1）$y = \dfrac{3}{x}$ （2）$y = \dfrac{x}{5}$ （3）$y = -\dfrac{2}{x}$

解答： （1）是反比例函数，因为它符合 $y = \dfrac{k}{x}$ 的形式，其中 $k = 3 \neq 0$。 （2）不是反比例函数，因为可以化简为 $y = \dfrac{1}{5}x$，这是正比例函数。 （3）是反比例函数，因为 $k = -2 \neq 0$，符合定义。

例题2：已知 $y$ 与 $x$ 成反比例，且当 $x = 2$ 时，$y = -3$。求 $y$ 与 $x$ 的函数关系式。

解答： 因为 $y$ 与 $x$ 成反比例，所以设函数关系式为 $y = \dfrac{k}{x}$（$k \neq 0$）。 将 $x = 2$，$y = -3$ 代入得：

两边同时乘以 2，得 $k = -6$。 所以函数关系式为 $y = \dfrac{-6}{x}$。

• 误认为所有分式函数都是反比例函数：只有形如 $y = \dfrac{k}{x}$（$k \neq 0$）的才是反比例函数。例如 $y = \dfrac{1}{x+1}$ 不是反比例函数。
• 忽略 $k \neq 0$ 的条件：若 $k = 0$，则 $y = 0$，这不是反比例函数，而是一个常函数。
• 忘记 $x \neq 0$：在求定义域或代入数值时，不能让 $x = 0$，否则无意义。
• 混淆正比例与反比例：正比例是 $y = kx$，反比例是 $y = \dfrac{k}{x}$，注意区分形式。