树状图法是一种直观、系统地列出多步随机实验所有可能结果的方法，特别适用于每一步都有有限种可能结果的情况。例如，连续抛两次硬币、从袋子中不放回地摸球等。

在树状图中，每一步实验用一层分支表示，每个分支代表该步的一个可能结果，并标注对应的概率。整个路径从起点到终点代表一个完整的实验结果，其发生的概率等于路径上各步概率的乘积（乘法原理）。

如果所有基本事件等可能，则某个事件的概率为：

但若各步概率不同（如不放回抽样），则需用路径概率相加的方式求总概率。例如，第一次抽到红球概率为 $\frac{3}{5}$，第二次抽到蓝球（不放回）概率为 $\frac{2}{4}$，则“先红后蓝”的概率为 $\frac{3}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{3}{10}$。

树状图帮助我们避免遗漏或重复计数，是解决两步或三步概率问题的有力工具。

• 路径概率公式：某条完整路径的概率 = 各步概率的乘积。 示例：抛两次硬币，“正→反”的概率为 $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$。

• 事件总概率：事件的概率 = 所有满足条件的路径概率之和。 示例：两次抛硬币中“恰好一次正面”的概率 = “正→反” + “反→正” = $\frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$。

例题1（基础）：一个袋子里有2个红球（R）和1个蓝球（B）。从中随机摸出一个球，记录颜色后放回，再摸一次。求两次都摸到红球的概率。

解题过程：

1. 第一步：第一次摸球，可能结果为 R（概率 $\frac{2}{3}$）或 B（概率 $\frac{1}{3}$）。
2. 第二步：因放回，第二次摸球概率与第一次相同。
3. 绘制树状图：第一层分 R 和 B；每个再分 R 和 B。
4. “两次都红”对应路径 R → R，其概率为 $\frac{2}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{9}$。

答：概率为 $\frac{4}{9}$。

例题2（进阶）：袋中有3个白球和2个黑球。不放回地连续摸两个球。求摸到一白一黑的概率。

解题过程：

1. 第一次摸球：白球概率 $\frac{3}{5}$，黑球概率 $\frac{2}{5}$。
2. 若第一次摸白（剩2白2黑），第二次摸黑概率为 $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$。
3. 若第一次摸黑（剩3白1黑），第二次摸白概率为 $\frac{3}{4}$。
4. 满足“一白一黑”的路径有两条：
   • 白→黑：$\frac{3}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{10}$
   • 黑→白：$\frac{2}{5} \times \frac{3}{4} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$
5. 总概率 = $\frac{3}{10} + \frac{3}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$。

答：概率为 $\frac{3}{5}$。

• 忘记是否放回：放回时每次概率不变，不放回时后续概率会变。解决方法：仔细审题，明确“放回”还是“不放回”。

• 漏画某些分支：比如两步实验只画了部分路径。解决方法：按步骤逐层画，确保每一步的所有可能都被列出。

• 直接数结果而不看概率是否相等：在不等可能情况下（如不放回），不能简单用“有利结果数/总结果数”。解决方法：始终用路径概率相乘再相加。

• 混淆路径顺序：例如把“先白后黑”和“先黑后白”当成同一种结果而只算一次。解决方法：在树状图中它们是不同路径，要分别计算再相加（除非题目明确不考虑顺序且已合并）。

• 概率计算错误：如不放回时分母没减1。解决方法：每一步都要重新计算剩余总数和目标数量。