二次函数的一般形式是 $y = ax^2 + bx + c$（其中 $a \neq 0$）。当 $a < 0$ 时，抛物线开口向下，函数有最大值；当 $a > 0$ 时，开口向上，函数有最小值。这个最值出现在抛物线的顶点处。

在实际应用中，比如“利润最大化”或“围成最大面积”，我们通常需要：

1. 设一个变量（如售价、边长等）为 $x$；
2. 根据题意写出另一个量（如销量、另一边长）关于 $x$ 的表达式；
3. 写出目标量（如利润、面积）关于 $x$ 的二次函数；
4. 利用顶点公式 $x = -\frac{b}{2a}$ 求出使目标量取最值的 $x$ 值，再代入求出最值。

注意：实际问题中变量常有取值范围（如价格不能为负，边长不能超过材料长度），最终答案必须在合理范围内。

• 顶点横坐标公式：对于 $y = ax^2 + bx + c$，顶点横坐标为 $x = -\dfrac{b}{2a}$。
  • 示例：$y = -2x^2 + 8x + 5$，则顶点横坐标为 $x = -\dfrac{8}{2 \times (-2)} = 2$。
• 顶点纵坐标（最值）：将 $x = -\dfrac{b}{2a}$ 代入原函数求得 $y$ 值。
  • 示例：上例中，$y = -2(2)^2 + 8(2) + 5 = -8 + 16 + 5 = 13$，即最大值为13。
• 利润 = 单件利润 × 销量
  • 示例：每件赚10元，卖出50件，则利润为 $10 \times 50 = 500$ 元。

例题1（基础）： 某商店销售一种商品，进价为20元/件。若售价为 $x$ 元/件，则每天可卖出 $(60 - x)$ 件。问售价定为多少时，每天利润最大？最大利润是多少？

解题步骤：

1. 设售价为 $x$ 元/件（$x > 20$，且 $x \leq 60$，否则销量为负）。
2. 单件利润 = 售价 - 进价 = $x - 20$。
3. 销量 = $60 - x$。
4. 总利润 $P = (x - 20)(60 - x) = -x^2 + 80x - 1200$。
5. 这是一个二次函数，$a = -1 < 0$，有最大值。
6. 顶点横坐标：$x = -\dfrac{80}{2 \times (-1)} = 40$。
7. 最大利润：$P = -(40)^2 + 80 \times 40 - 1200 = -1600 + 3200 - 1200 = 400$ 元。 答：售价定为40元时，利润最大，为400元。

例题2（进阶）： 用长为40米的篱笆围成一个矩形菜园，一边靠墙（墙足够长），求菜园的最大面积。

解题步骤：

1. 设垂直于墙的两边各长 $x$ 米，则平行于墙的一边长为 $40 - 2x$ 米（因为总篱笆长40米）。
2. 面积 $S = x \cdot (40 - 2x) = -2x^2 + 40x$。
3. 这是二次函数，$a = -2 < 0$，有最大值。
4. 顶点横坐标：$x = -\dfrac{40}{2 \times (-2)} = 10$。
5. 此时另一边长为 $40 - 2 \times 10 = 20$ 米，面积 $S = 10 \times 20 = 200$ 平方米。
6. 检查范围：$x > 0$ 且 $40 - 2x > 0 \Rightarrow x < 20$，而 $x = 10$ 在此范围内。 答：当垂直墙的边长为10米，平行墙的边长为20米时，面积最大，为200平方米。

• 忽略实际意义的取值范围：例如售价不能低于成本，边长不能为负。解决方法：列出变量的合理区间，并验证顶点是否在其中。
• 混淆单件利润与总利润：单件利润 = 售价 - 成本，总利润 = 单件利润 × 销量。务必分清两者。
• 列错函数表达式：如把销量写成 $x - 60$ 而不是 $60 - x$。解决方法：代入具体数值检验是否合理（如售价30元，销量应为正）。
• 忘记判断开口方向：只有 $a < 0$ 时才有最大值。若 $a > 0$，顶点是最小值，不符合“最大化”题意。
• 直接用顶点纵坐标公式但算错：建议先求横坐标，再代入原式计算纵坐标，避免记忆复杂公式出错。