二次函数的一般形式为 $y = ax^2 + bx + c$（其中 $a \neq 0$）。它的图像是抛物线，开口方向由 $a$ 的正负决定：当 $a > 0$ 时，开口向上；当 $a < 0$ 时，开口向下。

二次函数的对称轴是直线 $x = -\frac{b}{2a}$，顶点坐标为 $\left(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a}\right)$。这个顶点是函数取得最值的关键点：

• 若 $a > 0$，抛物线开口向上，函数在顶点处取得最小值；
• 若 $a < 0$，抛物线开口向下，函数在顶点处取得最大值。

关于增减性：

• 当 $a > 0$ 时，在对称轴左侧（即 $x < -\frac{b}{2a}$），函数值随 $x$ 增大而减小；在对称轴右侧（即 $x > -\frac{b}{2a}$），函数值随 $x$ 增大而增大。
• 当 $a < 0$ 时，情况相反：左侧递增，右侧递减。

这些性质帮助我们快速判断函数的变化趋势和极值，是解决实际问题（如求最大利润、最小成本等）的重要工具。

• 对称轴公式：$x = -\frac{b}{2a}$
  示例：$y = 2x^2 - 4x + 1$ 的对称轴是 $x = -\frac{-4}{2 \times 2} = 1$。

• 顶点坐标公式：$\left(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a}\right)$
  示例：上例中顶点纵坐标为 $\frac{4 \times 2 \times 1 - (-4)^2}{4 \times 2} = \frac{8 - 16}{8} = -1$，所以顶点是 $(1, -1)$。

• 最值判断：若 $a > 0$，最小值为顶点纵坐标；若 $a < 0$，最大值为顶点纵坐标。
  示例：$y = -x^2 + 2x + 3$ 中 $a = -1 < 0$，有最大值，顶点纵坐标为 $\frac{4 \times (-1) \times 3 - 2^2}{4 \times (-1)} = \frac{-12 - 4}{-4} = 4$，故最大值是 4。

例题1：已知二次函数 $y = x^2 - 4x + 3$，求它的对称轴、顶点坐标，并说明它在哪些区间上递增或递减。

解：

1. 确定系数：$a = 1$, $b = -4$, $c = 3$。
2. 对称轴：$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \times 1} = 2$。
3. 顶点纵坐标：$y = (2)^2 - 4 \times 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$，所以顶点为 $(2, -1)$。
4. 因为 $a = 1 > 0$，抛物线开口向上，所以在对称轴左侧（$x < 2$）函数递减，右侧（$x > 2$）函数递增。

例题2：某商品利润 $P$（元）与销售量 $x$（件）之间的关系为 $P = -2x^2 + 40x - 150$。问销售多少件时利润最大？最大利润是多少？

解：

1. 这是一个二次函数，$a = -2 < 0$，所以有最大值。
2. 对称轴：$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{40}{2 \times (-2)} = 10$。
3. 最大利润即顶点纵坐标：代入 $x = 10$，得 $P = -2(10)^2 + 40 \times 10 - 150 = -200 + 400 - 150 = 50$。
4. 答：销售 10 件时利润最大，最大利润是 50 元。

• 混淆增减区间的方向：学生常记反“左减右增”还是“左增右减”。记住口诀：“a 正开向上，左边下降右边升；a 负开向下，左边上升右边降”。

• 忽略 a 的符号直接套公式：例如误以为所有二次函数都有最小值。务必先看 $a$ 的正负再判断是最值类型。

• 计算对称轴时符号错误：如把 $x = -\frac{b}{2a}$ 错写成 $x = \frac{b}{2a}$。建议代入具体数字验证，比如 $y = x^2 + 2x$ 的对称轴应为 $x = -1$。

• 顶点纵坐标计算复杂出错：可优先用代入法（把对称轴的 $x$ 值代回原式求 $y$），比用 $\frac{4ac - b^2}{4a}$ 更不容易错。

• 认为最值一定在定义域内：若题目限制了 $x$ 的范围（如 $0 \leq x \leq 5$），最值可能出现在端点而非顶点，需结合区间分析。