二次函数的一般形式是 $y = ax^2 + bx + c$（其中 $a \neq 0$）。它的图像是抛物线。当 $a > 0$ 时，抛物线开口向上，函数有最小值；当 $a < 0$ 时，开口向下，函数有最大值。这个最值出现在抛物线的顶点处。

顶点的横坐标可以用公式 $x = -\frac{b}{2a}$ 求出，代入原函数即可得到最值（纵坐标）。这种方法称为顶点法。

另一种方法是配方法：将二次函数写成顶点式 $y = a(x - h)^2 + k$ 的形式，其中 $(h, k)$ 就是顶点坐标。因为平方项 $(x - h)^2 \geq 0$，所以当 $a > 0$ 时，$y$ 的最小值是 $k$；当 $a < 0$ 时，$y$ 的最大值是 $k$。

例如，函数 $y = x^2 - 4x + 3$ 可配方为 $y = (x - 2)^2 - 1$，所以顶点是 $(2, -1)$，最小值是 $-1$。

• 顶点横坐标公式：$x = -\dfrac{b}{2a}$

  • 示例：$y = 2x^2 - 8x + 5$，则 $x = -\dfrac{-8}{2 \times 2} = 2$

• 顶点式（配方法结果）：$y = a(x - h)^2 + k$，顶点为 $(h, k)$

  • 示例：$y = (x + 1)^2 + 3$，顶点为 $(-1, 3)$

• 最值判断：若 $a > 0$，最小值为 $k$；若 $a < 0$，最大值为 $k$

  • 示例：$y = -3(x - 4)^2 + 7$，因 $a = -3 < 0$，最大值为 $7$

例题1（基础）：求函数 $y = x^2 - 6x + 5$ 的最小值。

解：

1. 方法一（顶点法）：

   • 这里 $a = 1$, $b = -6$, $c = 5$
   • 顶点横坐标：$x = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-6}{2 \times 1} = 3$
   • 代入原式：$y = 3^2 - 6 \times 3 + 5 = 9 - 18 + 5 = -4$
   • 所以最小值是 $-4$

2. 方法二（配方法）：

   • $y = x^2 - 6x + 5 = (x^2 - 6x + 9) - 9 + 5 = (x - 3)^2 - 4$
   • 因为 $(x - 3)^2 \geq 0$，所以 $y \geq -4$，最小值为 $-4$

例题2（进阶）：用长为 20 米的篱笆围成一个矩形菜园，一边靠墙（不需篱笆），求菜园的最大面积。

解：

1. 设垂直于墙的边长为 $x$ 米，则平行于墙的边长为 $20 - 2x$ 米（因为总篱笆长为 $x + x + (20 - 2x) = 20$）
2. 面积 $S = x(20 - 2x) = -2x^2 + 20x$
3. 这是一个二次函数，$a = -2 < 0$，所以有最大值
4. 用顶点法：$x = -\dfrac{20}{2 \times (-2)} = 5$
5. 最大面积 $S = -2 \times 5^2 + 20 \times 5 = -50 + 100 = 50$（平方米）
6. 答：最大面积是 50 平方米

• 混淆最大值和最小值：忘记根据 $a$ 的正负判断最值类型。记住：$a > 0$ 是最小值，$a < 0$ 是最大值。

• 配方法符号错误：如 $x^2 - 4x$ 配方时，应加 $(\frac{4}{2})^2 = 4$，但常有人误加或漏减。正确做法：$x^2 - 4x = (x - 2)^2 - 4$。

• 顶点横坐标公式记错：容易把 $-\frac{b}{2a}$ 写成 $\frac{b}{2a}$。建议多练习并理解推导过程。

• 实际问题忽略定义域：如例题2中，$x$ 必须满足 $0 < x < 10$，不能直接套公式而不检查合理性。

• 代入计算出错：求出顶点横坐标后，代入原函数算纵坐标时粗心算错。建议验算或用配方法交叉验证。