位似变换是一种特殊的相似变换。它保持图形的形状不变，但大小可能改变，并且所有对应点的连线都经过同一个点——这个点叫做位似中心。如果两个图形关于某一点成位似，那么它们就是位似图形。

设原图形上任意一点 $P$，其对应点为 $P'$，位似中心为 $O$，则三点 $O$、$P$、$P'$ 共线，且满足：

其中 $k$ 叫做位似比（也称相似比）。当 $k > 0$ 时，$P$ 与 $P'$ 在位似中心同侧，称为同向位似；当 $k < 0$ 时，它们在位似中心异侧，称为反向位似。

特别地，在平面直角坐标系中，若以原点 $O(0,0)$ 为位似中心，位似比为 $k$，则点 $P(x, y)$ 的对应点 $P'$ 的坐标为：

这说明位似变换可以看作是对坐标的统一缩放。

• 位似比定义式：$\displaystyle k = \frac{OP'}{OP}$

  • 示例：若 $OP = 2$，$OP' = 6$，则 $k = \frac{6}{2} = 3$

• 坐标系中的位似公式（以原点为位似中心）：若 $P(x, y)$，则 $P'(kx, ky)$

  • 示例：点 $A(2, -1)$ 以原点为位似中心，位似比 $k = -2$，则对应点为 $A'(-4, 2)$

• 判断是否为位似图形：所有对应点连线交于同一点，且对应边平行（或共线）

例题1（基础）：已知△ABC 与 △A'B'C' 是位似图形，位似中心为点 O，OA = 3 cm，OA' = 9 cm。求位似比 $k$，并判断是同向还是反向位似。

解：

1. 根据位似比定义：$k = \frac{OA'}{OA} = \frac{9}{3} = 3$
2. 因为 OA 与 OA' 方向相同（题目未说明反向），所以 $k > 0$，为同向位似。

例题2（进阶）：在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点为 A(1, 2)，B(3, 1)，C(2, 4)。以原点 O 为位似中心，位似比 $k = -\frac{1}{2}$，作出△A'B'C' 并写出各顶点坐标。

解：

1. 利用坐标位似公式：$P'(kx, ky)$
2. 计算各点：
   • $A'( -\frac{1}{2} \times 1, -\frac{1}{2} \times 2 ) = (-0.5, -1)$
   • $B'( -\frac{1}{2} \times 3, -\frac{1}{2} \times 1 ) = (-1.5, -0.5)$
   • $C'( -\frac{1}{2} \times 2, -\frac{1}{2} \times 4 ) = (-1, -2)$
3. 所以 △A'B'C' 的顶点为 $A'(-0.5, -1)$，$B'(-1.5, -0.5)$，$C'(-1, -2)$。
4. 注意：因 $k < 0$，图形在原点另一侧，且缩小为原来的一半。

• 混淆位似与一般相似：位似一定是相似，但相似不一定是位似。位似要求所有对应点连线交于一点（位似中心），而一般相似只需形状相同、大小成比例。

  • 避免方法：检查对应点连线是否共点。

• 忽略位似比的正负号：只写绝对值，导致方向错误。

  • 避免方法：明确对应点与位似中心的位置关系，同侧为正，异侧为负。

• 坐标变换时漏掉负号：例如 $k = -2$ 时误写为 $(2x, 2y)$。

  • 避免方法：牢记公式 $P'(kx, ky)$，代入时保留符号。

• 误认为位似中心只能在图形内部：位似中心可以在图形外、边上，甚至无穷远处（此时退化为平移，但严格来说不是位似）。

  • 避免方法：通过画图理解位似中心的多种位置可能性。