比例是指两个比相等的关系。例如，如果 $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$（其中 $b \neq 0$，$d \neq 0$），我们就说这四个数 $a, b, c, d$ 成比例，也可以写成比例式 $a:b = c:d$。

比例有一个非常重要的基本性质：在比例式中，两个外项的积等于两个内项的积。也就是说，如果 $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$，那么一定有 $a \cdot d = b \cdot c$。这个性质也叫做“交叉相乘相等”。

反过来，如果已知 $a \cdot d = b \cdot c$，且 $b \neq 0$、$d \neq 0$，那么也可以推出 $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$。这个性质在解比例方程、验证比例是否成立时非常有用。

此外，比例还具有更比性质（交换内项或外项位置后仍成比例）和反比性质（将比的前后项互换后仍成比例）等，但最基本、最常用的就是“内项积等于外项积”这一条。

• 比例基本性质：若 $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$，则 $a \cdot d = b \cdot c$。

  • 示例：$\frac{2}{3} = \frac{4}{6}$，因为 $2 \times 6 = 3 \times 4 = 12$。

• 由积还原比例：若 $a \cdot d = b \cdot c$（且 $b,d \neq 0$），则 $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$。

  • 示例：已知 $5 \times 8 = 4 \times 10$，可得 $\frac{5}{4} = \frac{10}{8}$。

• 解比例方程：若 $\frac{x}{4} = \frac{6}{8}$，则 $x \cdot 8 = 4 \cdot 6$，解得 $x = 3$。

例题1：判断 $\frac{3}{5}$ 和 $\frac{9}{15}$ 是否相等。

解：

1. 根据比例基本性质，计算外项积和内项积。
2. 外项：3 和 15，积为 $3 \times 15 = 45$。
3. 内项：5 和 9，积为 $5 \times 9 = 45$。
4. 因为外项积等于内项积（45 = 45），所以 $\frac{3}{5} = \frac{9}{15}$。

例题2：解比例方程 $\frac{x}{7} = \frac{12}{21}$。

解：

1. 应用比例基本性质：外项积 = 内项积。
2. 即 $x \cdot 21 = 7 \cdot 12$。
3. 计算右边：$7 \times 12 = 84$。
4. 所以 $21x = 84$。
5. 两边同时除以 21，得 $x = \frac{84}{21} = 4$。
6. 答：$x = 4$。

• 忘记检查分母是否为零：比例式中分母不能为0，如 $\frac{a}{0}$ 无意义。解题前应确认所有分母非零。

• 混淆内外项位置：在比例 $a:b = c:d$ 中，外项是 $a$ 和 $d$，内项是 $b$ 和 $c$。错误地交叉相乘（如 $a \cdot c = b \cdot d$）会导致错误结果。

• 直接约分而不验证：看到 $\frac{6}{9} = \frac{2}{3}$ 就认为一定对，但若题目给出的是 $\frac{6}{9} = \frac{3}{2}$，必须用基本性质验证，不能凭直觉。

• 解方程时漏掉单位或符号：如解出 $x = -4$ 却忽略负号，或在应用题中忘记带单位（虽然本知识点多为纯数，但后续相似形中会涉及长度等，需养成习惯）。