相似三角形的判定

📘 相似·
⭐⭐
·AA、SAS、SSS

🎯 学习目标

  • 理解相似三角形的定义及其本质特征
  • 掌握三种判定相似三角形的方法：AA、SAS、SSS
  • 能灵活运用判定方法解决简单几何问题

📚 核心概念

相似三角形是指形状相同但大小不一定相同的两个三角形。它们的对应角相等，对应边成比例。判断两个三角形是否相似，不需要同时验证所有角和边，只需满足特定条件即可。

  1. AA（角角）判定法：如果两个三角形有两个角分别相等，那么这两个三角形相似。因为三角形内角和为180∘180^\circ，所以第三个角也必然相等。

  2. SAS（边角边）判定法：如果两个三角形的一个角相等，且夹这个角的两边对应成比例，那么这两个三角形相似。例如，在△ABC\triangle ABC和△DEF\triangle DEF中，若∠A=∠D\angle A = \angle D，且ABDE=ACDF\frac{AB}{DE} = \frac{AC}{DF}，则△ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF。

  3. SSS（边边边）判定法：如果两个三角形的三组对应边都成比例，即ABDE=BCEF=ACDF\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF}，那么这两个三角形相似。

注意：与全等三角形不同，相似不要求边长相等，只要求比例一致。

📝 关键公式

  • AA判定：若 ∠A=∠D\angle A = \angle D 且 ∠B=∠E\angle B = \angle E，则 △ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF。

    • 示例：两个三角形都有一个60∘60^\circ角和一个50∘50^\circ角，则它们相似。

  • SAS判定：若 ∠A=∠D\angle A = \angle D 且 ABDE=ACDF\frac{AB}{DE} = \frac{AC}{DF}，则 △ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF。

    • 示例：∠A=∠D=45∘\angle A = \angle D = 45^\circ，AB=4AB=4，DE=2DE=2，AC=6AC=6，DF=3DF=3，因42=63=2\frac{4}{2}=\frac{6}{3}=2，故相似。

  • SSS判定：若 ABDE=BCEF=ACDF\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF}，则 △ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF。

    • 示例：三边分别为3,4,5和6,8,10，因比例均为12\frac{1}{2}，故相似。

💡 经典例题

例题1（基础·AA）：在△ABC\triangle ABC和△DEF\triangle DEF中，已知∠A=70∘\angle A = 70^\circ，∠B=50∘\angle B = 50^\circ，∠D=70∘\angle D = 70^\circ，∠F=60∘\angle F = 60^\circ。判断两三角形是否相似。

解：

  1. 先求△ABC\triangle ABC的第三个角：∠C=180∘−70∘−50∘=60∘\angle C = 180^\circ - 70^\circ - 50^\circ = 60^\circ。
  2. 在△DEF\triangle DEF中，已知∠D=70∘\angle D = 70^\circ，∠F=60∘\angle F = 60^\circ，所以∠E=180∘−70∘−60∘=50∘\angle E = 180^\circ - 70^\circ - 60^\circ = 50^\circ。
  3. 因此，∠A=∠D=70∘\angle A = \angle D = 70^\circ，∠B=∠E=50∘\angle B = \angle E = 50^\circ，满足AA判定。
  4. 所以，△ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF。

例题2（进阶·SAS）：如图，△ABC\triangle ABC中，AB=8AB = 8，AC=12AC = 12，∠A=60∘\angle A = 60^\circ；△PQR\triangle PQR中，PQ=4PQ = 4，PR=6PR = 6，∠P=60∘\angle P = 60^\circ。判断两三角形是否相似。

解：

  1. 观察夹角：∠A=∠P=60∘\angle A = \angle P = 60^\circ。
  2. 计算夹该角的两边比例：
ABPQ=84=2,ACPR=126=2 \frac{AB}{PQ} = \frac{8}{4} = 2, \quad \frac{AC}{PR} = \frac{12}{6} = 2
  1. 两边对应成比例，且夹角相等，满足SAS相似判定。
  2. 因此，△ABC∼△PQR\triangle ABC \sim \triangle PQR。

⚠️ 易错点

  • 混淆SAS相似与SAS全等：SAS相似要求“夹角相等 + 两边成比例”，而SAS全等要求“夹角相等 + 两边相等”。避免方法：牢记“相似看比例，全等看相等”。

  • 误用SSA（边边角）判定相似：SSA不能作为相似或全等的判定依据。例如，两边成比例且其中一边对角相等，不一定相似。避免方法：只使用AA、SAS、SSS这三种可靠方法。

  • 忽略对应顺序：写相似时必须按对应顶点顺序书写，如△ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF表示A↔DA\leftrightarrow D、B↔EB\leftrightarrow E、C↔FC\leftrightarrow F。避免方法：先标出对应角或对应边再写结论。

  • 认为“三个角相等”是额外判定：其实AA已隐含第三角相等，无需单独提“AAA”。避免方法：理解AA判定已足够覆盖角度条件。