解直角三角形是指在已知部分边或角的情况下，求出其余未知的边和角。直角三角形中，一个角是90°，其余两个角为锐角，且三边满足勾股定理：若直角边为 $a$、$b$，斜边为 $c$，则有 $a^2 + b^2 = c^2$。

当已知两边时，可先用勾股定理求出第三边，再用三角函数求锐角。例如，$\sin A = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}}$，$\cos A = \frac{\text{邻边}}{\text{斜边}}$，$\tan A = \frac{\text{对边}}{\text{邻边}}$。

当已知一边和一个锐角时，可直接使用对应的三角函数关系求出另一边，再用勾股定理或角度和为90°求剩余元素。注意：直角三角形中两个锐角互余，即 $\angle A + \angle B = 90^\circ$。

解题关键在于明确“对边”“邻边”是相对于哪个锐角而言的，并选择合适的公式。

• 勾股定理：$a^2 + b^2 = c^2$（$c$ 为斜边）
  • 示例：若 $a=3$，$b=4$，则 $c = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$
• 正弦定义：$\sin A = \dfrac{\text{对边}}{\text{斜边}}$
  • 示例：若 $\angle A = 30^\circ$，斜边 $c=10$，则对边 $a = 10 \cdot \sin 30^\circ = 5$
• 余弦定义：$\cos A = \dfrac{\text{邻边}}{\text{斜边}}$
  • 示例：若 $\angle A = 60^\circ$，斜边 $c=8$，则邻边 $b = 8 \cdot \cos 60^\circ = 4$
• 正切定义：$\tan A = \dfrac{\text{对边}}{\text{邻边}}$
  • 示例：若 $\angle A = 45^\circ$，邻边 $b=6$，则对边 $a = 6 \cdot \tan 45^\circ = 6$

例题1（已知两边）：在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 6，BC = 8，求AB和∠A。

解：

1. 先求斜边 AB：由勾股定理，$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$。
2. 求 ∠A：∠A 的对边是 BC = 8，斜边 AB = 10，所以 $\sin A = \dfrac{8}{10} = 0.8$。
3. 查表或用计算器得 $\angle A \approx 53.1^\circ$。

例题2（已知一边一角）：在Rt△DEF中，∠F = 90°，DE = 13（斜边），∠D = 30°，求DF和EF。

解：

1. ∠D = 30°，其邻边是 DF，对边是 EF。
2. 用余弦求邻边 DF：$\cos 30^\circ = \dfrac{DF}{DE} \Rightarrow DF = 13 \cdot \cos 30^\circ = 13 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} \approx 11.26$。
3. 用正弦求对边 EF：$\sin 30^\circ = \dfrac{EF}{DE} \Rightarrow EF = 13 \cdot \sin 30^\circ = 13 \cdot 0.5 = 6.5$。
4. 验证：也可用勾股定理检查 $DF^2 + EF^2 \approx (11.26)^2 + (6.5)^2 \approx 126.8 + 42.25 = 169 = 13^2$，正确。

• 混淆对边与邻边：对边和邻边是相对于所讨论的锐角而言的。避免方法：画图标出角，明确哪条边对着该角。
• 误用斜边：在非直角三角形中错误套用勾股定理。避免方法：确认三角形是否为直角三角形（有一个90°角）。
• 角度单位错误：计算器未切换到“度数”模式，导致结果错误。避免方法：解题前检查计算器设置。
• 忽略锐角互余：忘记两个锐角和为90°，导致多算或漏算角度。避免方法：求出一个锐角后，另一个可用 $90^\circ -$ 已知锐角快速得出。
• 盲目套公式：不分析已知条件就乱用正弦/余弦/正切。避免方法：先判断已知的是哪两边（或边角），再选择对应函数（如已知对边和斜边 → 用正弦）。