摸球问题是概率初步中的经典模型，通常涉及从一个装有不同颜色或编号小球的袋子中随机抽取若干个球，求某类事件发生的概率。

关键在于判断抽取方式：有放回（每次摸完放回，各次独立）或无放回（摸出后不放回，各次相关）。

• 有放回抽样：每次抽取时袋中球总数不变。例如，袋中有3红2白共5球，有放回摸2次，则每次摸到红球的概率都是 $\frac{3}{5}$。
• 无放回抽样：每次抽取后袋中球减少，后续概率会变。如上例无放回摸2次，第一次摸红球概率为 $\frac{3}{5}$，若第一次摸到红球，则第二次摸红球概率变为 $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$。

在无放回且关注“组合”（不关心顺序）时，常用组合数公式：从 $n$ 个不同元素中选 $k$ 个的组合数为 $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$。事件概率 = $\frac{\text{有利结果数}}{\text{所有可能结果数}}$。

• 古典概型公式：$P(A) = \dfrac{\text{事件 } A \text{ 包含的基本事件数}}{\text{所有基本事件总数}}$

  • 示例：掷一枚均匀骰子，出现偶数点的概率是 $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$。

• 组合数公式：$\displaystyle \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

  • 示例：从5个球中选2个，有 $\binom{5}{2} = 10$ 种选法。

• 无放回摸球概率（组合法）：若袋中有 $R$ 个红球、$W$ 个白球，共 $N=R+W$，从中无放回摸 $n$ 个，恰有 $r$ 个红球的概率为：

• 示例：袋中有3红2白，无放回摸2个，恰1红1白的概率为 $\frac{\binom{3}{1}\binom{2}{1}}{\binom{5}{2}} = \frac{3 \times 2}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$。

例题1（基础）：一个袋子中有4个红球和2个白球，共6个球。从中无放回地摸出2个球，求两个都是红球的概率。

解题过程：

1. 确定总结果数：从6个球中选2个，不考虑顺序，共有 $\binom{6}{2} = 15$ 种可能。
2. 确定有利结果数：两个都是红球，即从4个红球中选2个，有 $\binom{4}{2} = 6$ 种。
3. 计算概率：$P = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}$。

例题2（进阶）：袋中有3个红球、2个蓝球和1个绿球，共6个。有放回地摸两次，求两次颜色不同的概率。

解题过程：

1. 总结果数：每次有6种可能，两次共 $6 \times 6 = 36$ 种有序结果。
2. 先求“两次颜色相同”的概率，再用1减去它更简便。
   • 两次都红：$3 \times 3 = 9$ 种
   • 两次都蓝：$2 \times 2 = 4$ 种
   • 两次都绿：$1 \times 1 = 1$ 种
   • 相同颜色总数：$9 + 4 + 1 = 14$
3. 颜色不同的结果数：$36 - 14 = 22$
4. 概率：$P = \frac{22}{36} = \frac{11}{18}$。

• 混淆有放回与无放回：看到“摸两次”就默认独立，忽略是否放回。应先明确题目条件。
• 错误使用排列代替组合：当问题不关心顺序（如“摸出两个红球”），却用排列计算，导致分子分母不一致。应统一用组合或统一用排列。
• 忽略样本空间的一致性：分子用组合数，分母却用排列数（或反之），造成概率错误。必须保证分子分母的计数方式一致。
• 未考虑所有有利情况：例如求“至少一个红球”时，只算“恰好一个”，漏掉“两个都是”。建议用“1 - 对立事件”简化计算。
• 误认为颜色相同即球相同：即使颜色相同，每个球仍是不同个体（除非题目说明不可区分）。但在概率计算中，只要对称，可按颜色分类处理。