最值优化是指在给定条件下，寻找某个量的最大值或最小值的问题。这类问题在生活中很常见，比如：用固定长度的篱笆围成面积最大的矩形花园，或者在成本一定的情况下获得最大利润。

解决最值问题的关键是建立目标函数，即把要求最值的量表示成一个变量的函数，然后在这个函数的定义域内找最大值或最小值。

初中阶段常用的方法有：

1. 配方法：适用于二次函数 $y = ax^2 + bx + c$（$a \neq 0$）。当 $a > 0$ 时，抛物线开口向上，有最小值；当 $a < 0$ 时，开口向下，有最大值。顶点横坐标为 $x = -\frac{b}{2a}$，代入可得最值。
2. 均值不等式（简单形式）：对于两个正数 $x$ 和 $y$，若它们的和固定，则当 $x = y$ 时，乘积 $xy$ 最大；若乘积固定，则当 $x = y$ 时，和 $x + y$ 最小。

注意：必须考虑实际问题中变量的取值范围（定义域），例如长度不能为负数。

• 二次函数顶点公式：对于 $y = ax^2 + bx + c$（$a \neq 0$），最值出现在 $x = -\frac{b}{2a}$ 处。

  • 示例：$y = -2x^2 + 8x + 1$ 的最大值在 $x = -\frac{8}{2 \times (-2)} = 2$ 处取得。

• 配方法：将二次函数写成 $y = a(x - h)^2 + k$ 形式，最值为 $k$。

  • 示例：$y = x^2 - 6x + 5 = (x - 3)^2 - 4$，最小值为 $-4$。

• 和定积最大（两正数）：若 $x + y = S$（常数），则当 $x = y = \frac{S}{2}$ 时，$xy$ 最大。

  • 示例：$x + y = 10$，则 $xy \leq 25$，当且仅当 $x = y = 5$ 时取等号。

例题1（基础）：用一根长为 20 米的绳子围成一个矩形，问矩形的长和宽各为多少时，面积最大？最大面积是多少？

解题过程：

1. 设矩形的长为 $x$ 米，则宽为 $\frac{20 - 2x}{2} = 10 - x$ 米（因为周长是 20）。
2. 面积 $S = x(10 - x) = -x^2 + 10x$。
3. 这是一个二次函数，$a = -1 < 0$，开口向下，有最大值。
4. 顶点横坐标：$x = -\frac{10}{2 \times (-1)} = 5$。
5. 此时宽也是 $10 - 5 = 5$ 米，即正方形。
6. 最大面积 $S = 5 \times 5 = 25$ 平方米。

例题2（进阶）：某商品每件成本 20 元，售价 30 元时每天可卖出 400 件。经调查，每涨价 1 元，每天少卖 20 件。问售价定为多少元时，每天利润最大？最大利润是多少？

解题过程：

1. 设涨价 $x$ 元，则售价为 $(30 + x)$ 元，销量为 $(400 - 20x)$ 件。
2. 每件利润 = 售价 - 成本 = $(30 + x - 20) = (10 + x)$ 元。
3. 总利润 $P = (10 + x)(400 - 20x)$。
4. 展开：$P = -20x^2 + 200x + 4000$。
5. 这是二次函数，$a = -20 < 0$，有最大值。
6. 顶点横坐标：$x = -\frac{200}{2 \times (-20)} = 5$。
7. 所以售价应定为 $30 + 5 = 35$ 元。
8. 最大利润 $P = (10 + 5)(400 - 100) = 15 \times 300 = 4500$ 元。

• 忽略实际意义的定义域：例如长度、人数不能为负数或超过限制。解决方法：先根据题意写出变量的取值范围，再在该范围内找最值。

• 混淆最大值和最小值：看到“最”就以为是最大，其实可能是最小（如成本最低）。解决方法：看清题目要求，并结合函数开口方向判断。

• 建模错误：把关系式列错，比如把利润当成售价乘销量而忘了减成本。解决方法：分步分析——先算单件利润，再乘数量。

• 直接套公式而不验证条件：如用“和定积最大”时，未确认两数是否为正数。解决方法：检查变量是否满足公式前提。

• 计算顶点后忘记代回求最值：只求出 $x$ 值，没算出对应的函数值。解决方法：养成习惯，求完 $x$ 后立即代入原式求最值。