在几何初步中，我们学习多个与三角形密切相关的定理和公式。首先，三角形内角和定理指出：任意三角形的三个内角之和恒为 $180^\circ$，即 $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$。其次，三角形面积公式不仅有底乘高的 $S = \frac{1}{2}ah$，还有利用两边及夹角正弦的形式：若已知两边 $a, b$ 及其夹角 $C$，则面积 $S = \frac{1}{2}ab\sin C$。正弦定理适用于任意三角形，表达为 $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$（$R$ 为外接圆半径），常用于“两角一边”或“两边一对角”情形。余弦定理则是勾股定理的推广：$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$，适用于“两边一夹角”或“三边”求角的问题。三倍角公式如 $\sin 3\theta = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta$，虽在初中较少直接使用，但有助于理解三角函数的深层关系。

• 三角形内角和定理：$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$
  示例：若 $\angle A = 50^\circ$, $\angle B = 60^\circ$，则 $\angle C = 180^\circ - 50^\circ - 60^\circ = 70^\circ$。

• 三角形面积公式（含正弦）：$S = \frac{1}{2}ab\sin C$
  示例：$a=4$, $b=5$, $\angle C = 30^\circ$，则 $S = \frac{1}{2} \times 4 \times 5 \times \sin 30^\circ = 10 \times \frac{1}{2} = 5$。

• 正弦定理：$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$
  示例：若 $a=6$, $\angle A = 30^\circ$, $\angle B = 45^\circ$，可先求 $\angle C = 105^\circ$，再用比例求 $b$。

• 余弦定理：$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$
  示例：$a=3$, $b=4$, $\angle C = 60^\circ$，则 $c^2 = 9 + 16 - 2\times3\times4\times\cos 60^\circ = 25 - 12 = 13$，故 $c = \sqrt{13}$。

• 三倍角公式（拓展）：$\sin 3\theta = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta$
  示例：当 $\theta = 10^\circ$，可估算 $\sin 30^\circ = 0.5$ 是否等于右边表达式（用于验证或竞赛）。

例题1（基础）：在 $\triangle ABC$ 中，已知 $AB = 5$，$AC = 6$，$\angle A = 60^\circ$，求三角形的面积。

解：

1. 已知两边 $AB = c = 5$，$AC = b = 6$，夹角 $\angle A = 60^\circ$。
2. 使用面积公式 $S = \frac{1}{2}bc\sin A$。
3. 代入：$S = \frac{1}{2} \times 6 \times 5 \times \sin 60^\circ = 15 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{15\sqrt{3}}{2}$。
4. 答：面积为 $\frac{15\sqrt{3}}{2}$。

例题2（综合）：在 $\triangle ABC$ 中，已知 $a = 7$，$b = 8$，$c = 9$，求 $\angle C$ 的大小（精确到度）。

解：

1. 已知三边，求角，使用余弦定理：$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$。
2. 注意：边 $c$ 对应角 $C$，所以这里 $c = AB = 9$，对角为 $\angle C$。
3. 代入：$\cos C = \frac{7^2 + 8^2 - 9^2}{2 \times 7 \times 8} = \frac{49 + 64 - 81}{112} = \frac{32}{112} = \frac{2}{7}$。
4. 查表或用计算器得：$\angle C \approx \cos^{-1}(2/7) \approx 73^\circ$。
5. 答：$\angle C \approx 73^\circ$。

• 混淆边与角的对应关系：在正弦、余弦定理中，边 $a$ 对应角 $A$（即 $a$ 是 $\angle A$ 的对边）。避免方法：画图标出边角对应。
• 面积公式误用夹角：$S = \frac{1}{2}ab\sin C$ 中的角 $C$ 必须是边 $a$ 和 $b$ 的夹角。若用了非夹角，结果错误。避免方法：确认角是否在两边之间。
• 忽略角度单位：计算时误将角度当作弧度输入计算器。避免方法：统一使用角度制，并检查计算器模式。
• 余弦定理符号错误：写成 $c^2 = a^2 + b^2 + 2ab\cos C$（应为减号）。避免方法：记住当 $\angle C = 90^\circ$ 时，$\cos C = 0$，公式退化为勾股定理。
• 三倍角公式滥用：初中阶段一般不要求掌握三倍角公式，考试中强行使用易出错。避免方法：优先使用基本定理，三倍角仅作了解。