立体几何研究的是三维空间中的图形，它们有长度、宽度和高度。初中阶段主要学习几种常见的立体图形：

• 长方体：有6个矩形面，相对的面全等。棱互相垂直。
• 正方体：特殊的长方体，6个面都是全等的正方形。
• 圆柱：由两个平行且全等的圆形底面和一个曲面侧面组成。
• 圆锥：有一个圆形底面和一个顶点，侧面是曲面。
• 球：所有点到球心的距离都相等，这个距离叫半径 $r$。

在计算时，我们关注两个重要量：表面积（所有面的面积总和）和体积（物体所占空间大小）。注意单位要统一，比如长度用厘米（cm），面积就是平方厘米（cm²），体积是立方厘米（cm³）。理解每个公式背后的含义比死记硬背更重要，比如圆柱体积其实是底面积乘高，即 $V = \pi r^2 h$，这和长方体 $V = 长 \times 宽 \times 高$ 的思想一致。

• 长方体体积：$V = 长 \times 宽 \times 高$；例：长3cm、宽2cm、高4cm的长方体，体积为 $3 \times 2 \times 4 = 24\,\text{cm}^3$。
• 正方体表面积：$S = 6a^2$（$a$ 为棱长）；例：棱长为5cm的正方体，表面积为 $6 \times 5^2 = 150\,\text{cm}^2$。
• 圆柱体积：$V = \pi r^2 h$；例：底面半径2cm、高5cm，体积为 $\pi \times 2^2 \times 5 = 20\pi \approx 62.8\,\text{cm}^3$。
• 圆锥体积：$V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h$；例：底面半径3cm、高6cm，体积为 $\dfrac{1}{3}\pi \times 3^2 \times 6 = 18\pi \approx 56.5\,\text{cm}^3$。
• 球的体积：$V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$；例：半径为3cm的球，体积为 $\dfrac{4}{3}\pi \times 3^3 = 36\pi \approx 113.0\,\text{cm}^3$。

例题1（基础）：一个长方体纸盒长10cm，宽6cm，高4cm。求它的表面积和体积。

解：

1. 表面积公式：$S = 2(长\times宽 + 长\times高 + 宽\times高)$
2. 代入数据：$S = 2(10\times6 + 10\times4 + 6\times4) = 2(60 + 40 + 24) = 2 \times 124 = 248\,\text{cm}^2$
3. 体积公式：$V = 长 \times 宽 \times 高 = 10 \times 6 \times 4 = 240\,\text{cm}^3$ 答：表面积为248 cm²，体积为240 cm³。

例题2（进阶）：一个圆锥形沙堆，底面直径为6米，高为2米。若每立方米沙重1.5吨，求这堆沙的重量。（取 $\pi \approx 3.14$）

解：

1. 先求底面半径：$r = 6 \div 2 = 3\,\text{m}$
2. 圆锥体积：$V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h = \dfrac{1}{3} \times 3.14 \times 3^2 \times 2 = \dfrac{1}{3} \times 3.14 \times 9 \times 2 = 18.84\,\text{m}^3$
3. 沙的重量：$18.84 \times 1.5 = 28.26\,\text{吨}$ 答：这堆沙重约28.26吨。

• 混淆表面积和体积公式：例如把圆柱表面积当成 $2\pi r h$（漏了两个底面）。应记住表面积包含所有面，圆柱表面积是 $2\pi r^2 + 2\pi r h$。
• 忘记圆锥体积要乘 $\dfrac{1}{3}$：常误用成和圆柱一样。记住：同底同高的圆锥体积是圆柱的三分之一。
• 单位不统一或写错：如长度用米，面积却写成 cm²。计算前先统一单位，结果带上正确单位（面积是平方，体积是立方）。
• 把直径当半径用：题目给的是直径时，必须先除以2得到半径再代入公式。
• 忽略实际意义：如求水箱容积时，若水箱有厚度，不能直接用外部长宽高计算。初中题通常忽略厚度，但需看清题意。