整除是数论中的基础概念。我们说整数 $a$ 能被整数 $b$（$b \neq 0$）整除，是指存在一个整数 $k$，使得 $a = b \times k$。这时，我们也称 $b$ 是 $a$ 的因数（或约数），$a$ 是 $b$ 的倍数。例如，12 能被 3 整除，因为 $12 = 3 \times 4$，其中 4 是整数。

注意：整除只讨论整数之间的关系，且除数不能为 0。另外，任何非零整数都能整除 0，因为 $0 = b \times 0$ 对任意 $b \neq 0$ 都成立。

整除具有以下基本性质：

• 传递性：若 $a$ 能被 $b$ 整除，$b$ 能被 $c$ 整除，则 $a$ 能被 $c$ 整除。
• 线性组合性质：若 $a$ 和 $b$ 都能被 $d$ 整除，则它们的和、差、整数倍也都能被 $d$ 整除，即 $ma + nb$（其中 $m,n$ 为整数）也能被 $d$ 整除。

这些性质在简化计算和证明中非常有用。

• 整除定义：若存在整数 $k$，使得 $a = b \cdot k$（$b \neq 0$），则称 $b \mid a$（读作“$b$ 整除 $a$”）。
  示例：因为 $15 = 5 \times 3$，所以 $5 \mid 15$。

• 整除的传递性：若 $a \mid b$ 且 $b \mid c$，则 $a \mid c$。
  示例：$2 \mid 6$，$6 \mid 18$，所以 $2 \mid 18$。

• 线性组合性质：若 $d \mid a$ 且 $d \mid b$，则对任意整数 $m, n$，有 $d \mid (ma + nb)$。
  示例：$3 \mid 9$ 且 $3 \mid 12$，那么 $3 \mid (2 \times 9 - 1 \times 12) = 6$。

例题1：判断 84 是否能被 7 整除，并说明理由。
解：
步骤1：根据整除定义，我们需要找到一个整数 $k$，使得 $84 = 7 \times k$。
步骤2：计算 $84 \div 7 = 12$，结果是整数。
步骤3：因此，存在整数 $k = 12$，满足 $84 = 7 \times 12$。
结论：84 能被 7 整除，即 $7 \mid 84$。

例题2：已知 $6 \mid a$ 且 $6 \mid b$，证明 $6 \mid (3a - 2b)$。
解：
步骤1：由 $6 \mid a$，可知存在整数 $m$，使得 $a = 6m$；同理，存在整数 $n$，使得 $b = 6n$。
步骤2：代入表达式：

步骤3：因为 $3m - 2n$ 是整数（整数加减乘仍为整数），所以 $3a - 2b$ 可表示为 6 与一个整数的乘积。
结论：根据整除定义，$6 \mid (3a - 2b)$。

• 混淆“除尽”和“整除”：小数除法中“除尽”（如 $5 \div 2 = 2.5$）不是整除。整除要求结果必须是整数，且被除数、除数都必须是整数。避免方法：始终检查商是否为整数。

• 忽略除数不能为0：有些同学会误认为“0 能被 0 整除”。实际上，整除定义中明确要求除数 $b \neq 0$。避免方法：牢记除数非零。

• 误用整除符号方向：写成 $a \mid b$ 表示“a 整除 b”，但有人会反过来理解。记住：竖线左边是除数，右边是被除数。口诀：“小整除大”不对，应看是否存在整数倍关系。

• 忽视负数情况：例如认为 $-6$ 不能被 3 整除。其实 $-6 = 3 \times (-2)$，所以 $3 \mid -6$。整除对负整数同样适用。避免方法：考虑负整数也是整数。