在自然数中（即正整数），我们可以根据因数的个数将大于1的数分为两类：质数和合数。

• 质数（也叫素数）是指只有1和它本身两个正因数的自然数。例如：2、3、5、7、11 等。注意：2 是唯一的偶质数。
• 合数是指除了1和它本身外，还有其他正因数的自然数。例如：4（因数有1, 2, 4）、6（因数有1, 2, 3, 6）、9（因数有1, 3, 9）等。
• 特别注意：1 既不是质数，也不是合数，因为它只有一个正因数（就是它自己），不满足质数“有两个因数”的条件，也不满足合数“有三个或以上因数”的条件。

判断一个数 $n$（$n > 1$）是否为质数，常用方法是：检查从 2 到 $\sqrt{n}$ 的所有整数是否能整除 $n$。如果都不能整除，则 $n$ 是质数；否则是合数。这是因为如果 $n = a \times b$，且 $a \leq b$，那么一定有 $a \leq \sqrt{n}$。

• 质数定义：若 $p > 1$ 且其正因数只有 $1$ 和 $p$，则 $p$ 是质数。例如：$5$ 的因数只有 $1$ 和 $5$，所以是质数。
• 合数定义：若 $c > 1$ 且存在因数 $d$ 满足 $1 < d < c$，则 $c$ 是合数。例如：$8 = 2 \times 4$，有因数 $2$ 和 $4$，所以是合数。
• 1 的特殊性：$1$ 只有一个正因数，因此既不是质数也不是合数。

例题1：判断下列各数哪些是质数，哪些是合数：2, 9, 13, 15, 1。

解：

• $2$：因数只有 $1$ 和 $2$ → 质数。
• $9$：因数有 $1, 3, 9$ → 合数。
• $13$：检查 $2$ 到 $\sqrt{13} \approx 3.6$，即试除 $2, 3$，都不能整除 → 质数。
• $15$：$15 = 3 \times 5$，有因数 $3, 5$ → 合数。
• $1$：只有一个因数 → 既不是质数也不是合数。

例题2：判断 $37$ 是否为质数。

解： 先计算 $\sqrt{37} \approx 6.08$，只需检查 $2, 3, 4, 5, 6$ 是否能整除 $37$。

• $37 \div 2 = 18.5$ → 不整除
• $37 \div 3 \approx 12.33$ → 不整除
• $37 \div 4 = 9.25$ → 不整除
• $37 \div 5 = 7.4$ → 不整除
• $37 \div 6 \approx 6.17$ → 不整除

没有小于等于 $\sqrt{37}$ 的整数能整除它，因此 37 是质数。

• 误认为1是质数：1只有一个因数，不符合质数“有两个不同因数”的定义。记住：1既不是质数也不是合数。
• 把所有奇数当成质数：如9、15、21都是奇数，但它们是合数（有其他因数）。不能仅凭奇偶判断。
• 忽略2是质数：2是最小的质数，也是唯一的偶质数，不要因为它是偶数就排除。
• 判断大数时漏试因数：应试除到 $\sqrt{n}$ 为止，而不是只试几个小数。例如判断49时，需试到7（因为 $\sqrt{49}=7$），而 $49=7\times7$，所以是合数。