去分母

📘 一元一次方程·
⭐⭐⭐
·最小公倍数、去分母步骤

🎯 学习目标

  • 理解去分母在解一元一次方程中的作用
  • 掌握利用最小公倍数（LCM）正确去分母的方法
  • 能准确、规范地解含有分数系数的一元一次方程

📚 核心概念

在解含有分数的一元一次方程时，为了简化计算，我们通常会“去分母”——即通过等式两边同时乘以所有分母的最小公倍数（LCM），将方程转化为整数系数的形式。这是因为根据等式的性质：如果 a=ba = b，那么对任意非零数 kk，都有 ka=kbka = kb。

例如，方程 x2+13=5\frac{x}{2} + \frac{1}{3} = 5 中有两个分母：2 和 3。它们的最小公倍数是 6。我们将方程两边都乘以 6：

6⋅(x2+13)=6⋅56 \cdot \left( \frac{x}{2} + \frac{1}{3} \right) = 6 \cdot 5

根据乘法分配律，左边变为 6⋅x2+6⋅13=3x+26 \cdot \frac{x}{2} + 6 \cdot \frac{1}{3} = 3x + 2，右边为 30，于是得到整数方程 3x+2=303x + 2 = 30，更容易求解。

关键在于：必须将方程中每一项都乘以最小公倍数，包括不含分母的项（如常数项）。否则会导致等式不成立。

📝 关键公式

  • 去分母法则：若方程含多个分数，两边同乘所有分母的最小公倍数（LCM）。

    • 示例：对 x4+25=3\frac{x}{4} + \frac{2}{5} = 3，LCM(4,5)=20，两边×20得 5x+8=605x + 8 = 60。

  • 最小公倍数求法：分解质因数后取各因数的最高次幂相乘。

    • 示例：6 和 8 的质因数分别为 2×32 \times 3 和 232^3，LCM = 23×3=242^3 \times 3 = 24。

💡 经典例题

例题1（基础）：解方程 x3+2=5\frac{x}{3} + 2 = 5。

解：

  1. 方程中只有一个分母 3，最小公倍数为 3。
  2. 两边同乘 3：3⋅(x3+2)=3⋅53 \cdot \left( \frac{x}{3} + 2 \right) = 3 \cdot 5
  3. 展开：x+6=15x + 6 = 15
  4. 移项：x=15−6=9x = 15 - 6 = 9
  5. 检验：左边 =93+2=3+2=5== \frac{9}{3} + 2 = 3 + 2 = 5 = 右边，正确。

例题2（进阶）：解方程 2x−14=x+36\frac{2x - 1}{4} = \frac{x + 3}{6}。

解：

  1. 分母为 4 和 6，LCM(4,6) = 12。
  2. 两边同乘 12：12⋅2x−14=12⋅x+3612 \cdot \frac{2x - 1}{4} = 12 \cdot \frac{x + 3}{6}
  3. 化简：左边 =3(2x−1)= 3(2x - 1)，右边 =2(x+3)= 2(x + 3)
  4. 去括号：6x−3=2x+66x - 3 = 2x + 6
  5. 移项合并：6x−2x=6+3⇒4x=96x - 2x = 6 + 3 \Rightarrow 4x = 9
  6. 解得：x=94x = \frac{9}{4}
  7. （可选）检验代入原方程验证成立。

⚠️ 易错点

  • 漏乘不含分母的项：比如方程 x2+3=4\frac{x}{2} + 3 = 4，去分母时忘记把 3 和 4 也乘以 2。避免方法：用括号把整个左边和右边括起来再乘。

  • 最小公倍数算错：如认为 4 和 6 的 LCM 是 24（实际是 12）。避免方法：用短除法或分解质因数准确求 LCM。

  • 去分母后忘记加括号：如 2x−13\frac{2x - 1}{3} 乘以 6 应得 2(2x−1)2(2x - 1)，若写成 4x−14x - 1 就错了。避免方法：分子是多项式时，乘完后一定要加括号再展开。

  • 约分错误：如 12⋅x+24=3x+212 \cdot \frac{x + 2}{4} = 3x + 2（正确应为 3(x+2)=3x+63(x + 2) = 3x + 6）。避免方法：先整体约分，再分配乘法。

💡 例题

1

方程

(x−1)(x−2)(x−3)⋯(x−100)(x−12)(x−22)(x−32)⋯(x−1002)=0\frac{(x-1)(x-2)(x-3)\dotsm(x-100)}{(x-1^2)(x-2^2)(x-3^2)\dotsm(x-100^2)} = 0

在xx范围内有多少个解？

  1. 方程的解必须使等式左边分子为0，同时分母不为0。
  2. 分子为0时，xx是1,2,3,…,100.1, 2, 3, \dots, 100.中的某个数。
  3. 但若该数是完全平方数，则分母也为0，此时xx不是方程的解。
  4. 因此，需统计1,2,…,1001, 2, \dots, 100中不是完全平方数的整数个数。
  5. 这些数中的完全平方数有12,22,…,102,1^2, 2^2, \dots, 10^2,，共1010个。
  6. 所以不是完全平方数的整数有
100−10=90100 - 10 = \boxed{90}

个。

2

aa、bb、cc的算术平均数、几何平均数和调和平均数分别是88、55、33。求a2+b2+c2a^2+b^2+c^2的值。

  1. 已知三个数的算术平均数是88，所以它们的和是a+b+c3=8\frac{a+b+c}{3} = 8，两边同乘33得a+b+c=24a+b+c=24。
  2. 已知几何平均数是55，所以它们的积是abc3=5\sqrt[3]{abc}=5，两边立方得abc=125abc = 125。
  3. 已知调和平均数是33，所以有 31a+1b+1c=3.\frac{3}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}=3. 化简得 1a+1b+1c=1.\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} = 1. 通分得 ab+bc+caabc=1\frac{ab+bc+ca}{abc}=1 因此ab+bc+ca=abc=125ab+bc+ca=abc=125。
  4. 要求a2+b2+c2a^2+b^2+c^2，先对已知的a+b+ca+b+c两边平方并展开： (a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca).(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca). 改写为 a2+b2+c2=(a+b+c)2−2(ab+bc+ca).a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca). 将第1步和第2步的结果代入右边，解得 a2+b2+c2=(24)2−2(125)=576−250=326.a^2+b^2+c^2=(24)^2-2(125)=576-250=\boxed{326}.

✏️ 练习

1

log⁡104+2log⁡105+3log⁡102+6log⁡105+log⁡108\log_{10}{4}+2\log_{10}{5}+3\log_{10}{2}+6\log_{10}{5}+\log_{10}{8}的值是多少？

2

求x3−3x+5x^3 - 3x + 5除以x+2.x + 2.的余数。

3

设P=(1−12)(1−13)(1−14)⋯(1−1n)P= \left( 1 - \frac{1}{2} \right) \left( 1 - \frac{1}{3} \right) \left( 1 - \frac{1}{4} \right) \dotsm \left( 1 - \frac{1}{n} \right)。若n=2007n=2007，求PP的值。结果用最简分数表示。

4

小明写下四个整数w>x>y>zw > x > y > z，它们的和是4444。这四个数两两相减（取正差）得到的差值是1,3,4,5,6,1, 3, 4, 5, 6,和99。那么ww所有可能取值的和是多少？

5

设x1,x_1,、x2,x_2,、…,\dots,、xnx_n为非负实数，且满足x1+x2+⋯+xn=1x_1 + x_2 + \dots + x_n = 1和

x12+x22+⋯+xn2≤1100.x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2 \le \frac{1}{100}.

。求n.n.的最小可能值。