蛋蛋的奥数 | AI 数学伴侣

十字相乘法是一种用于分解二次三项式的方法，特别适用于形如 $x^2 + px + q$ 或 $ax^2 + bx + c$ 的多项式。

对于最简单的情形 $x^2 + px + q$ ，我们要找两个数 $m$ 和 $n$ ，使得：

m + n = p \quad \text{且} \quad m \times n = q

那么原式就可以分解为：

x^2 + px + q = (x + m)(x + n)

例如， $x^2 + 5x + 6$ 中，因为 $2 + 3 = 5$ 且 $2 \times 3 = 6$ ，所以可分解为 $(x + 2)(x + 3)$ 。

当二次项系数不是1时，即 $ax^2 + bx + c$ （ $a \neq 1$ ），我们需要找四个整数 $m, n, r, s$ ，使得：

m \times r = a, \quad n \times s = c, \quad \text{且} \quad ms + nr = b

然后写成：

ax^2 + bx + c = (mx + n)(rx + s)

这个过程通常用“十字”图来辅助：把 $a$ 拆成两数乘积放左边， $c$ 拆成两数乘积放右边，交叉相乘再相加看是否等于中间项系数 $b$ 。如果成立，就找到了正确的分解方式。

基本型：若 $m + n = p$ $m + n = p$ 且 $mn = q$ $mn = q$ ，则 $x^2 + px + q = (x + m)(x + n)$ $x^{2} + p x + q = (x + m) (x + n)$ 。
- 示例： $x^2 + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4)$ ，因为 $3 + 4 = 7$ ， $3 \times 4 = 12$ 。
一般型：若 $a = m \cdot r$ $a = m \cdot r$ ， $c = n \cdot s$ $c = n \cdot s$ ，且 $ms + nr = b$ $m s + n r = b$ ，则 $ax^2 + bx + c = (mx + n)(rx + s)$ $a x^{2} + b x + c = (m x + n) (r x + s)$ 。
- 示例： $2x^2 + 7x + 3 = (2x + 1)(x + 3)$ ，因为 $2 \times 1 = 2$ ， $1 \times 3 = 3$ ，且 $2 \times 3 + 1 \times 1 = 7$ 。

例题1（基础型）：分解因式 $x^2 - 2x - 8$ 。

解：

例题2（进阶型）：分解因式 $3x^2 - 10x + 8$ 。

解：

二次项系数 $a = 3$ ，常数项 $c = 8$ 。
尝试将 $3$ 拆为 $3 \times 1$ ，将 $8$ 拆为可能的因数对： $(1,8), (2,4), (4,2), (8,1)$ ，注意符号（这里常数为正，一次项为负，说明两个数都为负）。
用十字相乘尝试：
- 左边：3 和 1
- 右边：-2 和 -4（因为 $(-2) \times (-4) = 8$ ）
- 交叉相乘再相加： $3 \times (-4) + 1 \times (-2) = -12 - 2 = -14$ ❌
- 换右边为 -4 和 -2： $3 \times (-2) + 1 \times (-4) = -6 - 4 = -10$ ✅
所以， $3x^2 - 10x + 8 = (3x - 4)(x - 2)$ 。

忽略符号：在找两个数时，忘记考虑乘积和和的符号。例如， $x^2 - x - 6$ 中，应找乘积为 $-6$ 、和为 $-1$ 的数（如 $2$ 和 $-3$ ），而不是都取正数。
拆错系数：在 $ax^2 + bx + c$ 中，只拆常数项 $c$ ，而忘了也要合理拆分 $a$ 。比如 $6x^2 + 5x + 1$ ，不能只看 $1$ 的因数，还要考虑 $6 = 2 \times 3$ 等组合。
不验证结果：分解后不展开检查是否等于原式。建议养成习惯：分解完用乘法验证一遍。
强行使用十字相乘：并非所有二次三项式都能用十字相乘法分解（如 $x^2 + x + 1$ 在有理数范围内不可分解）。应先判断是否有合适的整数因数组合，没有时考虑其他方法（如求根公式）。
顺序混乱：在写 $(mx + n)(rx + s)$ 时，把常数项放错位置。记住：左边对应二次项系数的因子，右边对应常数项的因子，交叉相乘后相加要等于一次项系数。