蛋蛋的奥数 | AI 数学伴侣

📘 整式的乘法与因式分解·

⭐⭐⭐

·x²+px+q、ax²+bx+c

🎯 学习目标

掌握形如 $x^2 + px + q$ 的二次三项式的十字相乘法分解方法
理解并能运用十字相乘法分解一般形式 $ax^2 + bx + c$（其中 $a \neq 1$）
能通过因式分解解决简单的方程和实际问题

📚 核心概念

十字相乘法是一种用于分解二次三项式的方法，特别适用于形如 $x^2 + px + q$ 或 $ax^2 + bx + c$ 的多项式。

对于最简单的情形 $x^2 + px + q$ ，我们要找两个数 $m$ 和 $n$ ，使得：

m + n = p \quad \text{且} \quad m \times n = q

那么原式就可以分解为：

x^2 + px + q = (x + m)(x + n)

例如， $x^2 + 5x + 6$ 中，因为 $2 + 3 = 5$ 且 $2 \times 3 = 6$ ，所以可分解为 $(x + 2)(x + 3)$ 。

当二次项系数不是1时，即 $ax^2 + bx + c$ （ $a \neq 1$ ），我们需要找四个整数 $m, n, r, s$ ，使得：

m \times r = a, \quad n \times s = c, \quad \text{且} \quad ms + nr = b

然后写成：

ax^2 + bx + c = (mx + n)(rx + s)

这个过程通常用“十字”图来辅助：把 $a$ 拆成两数乘积放左边， $c$ 拆成两数乘积放右边，交叉相乘再相加看是否等于中间项系数 $b$ 。如果成立，就找到了正确的分解方式。

📝 关键公式

基本型：若 $m + n = p$ $m + n = p$ 且 $mn = q$ $mn = q$ ，则 $x^2 + px + q = (x + m)(x + n)$ $x^{2} + p x + q = (x + m) (x + n)$ 。
- 示例： $x^2 + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4)$ ，因为 $3 + 4 = 7$ ， $3 \times 4 = 12$ 。
一般型：若 $a = m \cdot r$ $a = m \cdot r$ ， $c = n \cdot s$ $c = n \cdot s$ ，且 $ms + nr = b$ $m s + n r = b$ ，则 $ax^2 + bx + c = (mx + n)(rx + s)$ $a x^{2} + b x + c = (m x + n) (r x + s)$ 。
- 示例： $2x^2 + 7x + 3 = (2x + 1)(x + 3)$ ，因为 $2 \times 1 = 2$ ， $1 \times 3 = 3$ ，且 $2 \times 3 + 1 \times 1 = 7$ 。

💡 经典例题

例题1（基础型）：分解因式 $x^2 - 2x - 8$ 。

解：

找两个数，它们的乘积是常数项 $-8$ ，和是一次项系数 $-2$ 。
列出 $-8$ 的因数对： $(1, -8), (-1, 8), (2, -4), (-2, 4)$ 。
检查哪一对的和为 $-2$ ： $2 + (-4) = -2$ ，符合条件。
因此， $x^2 - 2x - 8 = (x + 2)(x - 4)$ 。

例题2（进阶型）：分解因式 $3x^2 - 10x + 8$ 。

解：

二次项系数 $a = 3$ ，常数项 $c = 8$ 。
尝试将 $3$ 拆为 $3 \times 1$ ，将 $8$ 拆为可能的因数对： $(1,8), (2,4), (4,2), (8,1)$ ，注意符号（这里常数为正，一次项为负，说明两个数都为负）。
用十字相乘尝试：
- 左边：3 和 1
- 右边：-2 和 -4（因为 $(-2) \times (-4) = 8$ ）
- 交叉相乘再相加： $3 \times (-4) + 1 \times (-2) = -12 - 2 = -14$ ❌
- 换右边为 -4 和 -2： $3 \times (-2) + 1 \times (-4) = -6 - 4 = -10$ ✅
所以， $3x^2 - 10x + 8 = (3x - 4)(x - 2)$ 。

⚠️ 易错点

忽略符号：在找两个数时，忘记考虑乘积和和的符号。例如， $x^2 - x - 6$ 中，应找乘积为 $-6$ 、和为 $-1$ 的数（如 $2$ 和 $-3$ ），而不是都取正数。
拆错系数：在 $ax^2 + bx + c$ 中，只拆常数项 $c$ ，而忘了也要合理拆分 $a$ 。比如 $6x^2 + 5x + 1$ ，不能只看 $1$ 的因数，还要考虑 $6 = 2 \times 3$ 等组合。
不验证结果：分解后不展开检查是否等于原式。建议养成习惯：分解完用乘法验证一遍。
强行使用十字相乘：并非所有二次三项式都能用十字相乘法分解（如 $x^2 + x + 1$ 在有理数范围内不可分解）。应先判断是否有合适的整数因数组合，没有时考虑其他方法（如求根公式）。
顺序混乱：在写 $(mx + n)(rx + s)$ 时，把常数项放错位置。记住：左边对应二次项系数的因子，右边对应常数项的因子，交叉相乘后相加要等于一次项系数。

💡 例题

求满足条件的正整数 $n,$ 的个数：使得多项式 $1 \le n \le 1000,$ 能分解为两个整系数一次因式的乘积。

如果 $x^2 + x - n$ 能分解为两个整系数一次因式的乘积，则它必可写成

(x - a)(x - b) = x^2 - (a + b)x + ab,

其中 $a$ 和 $b$ 都是整数。 2. 展开得： $a + b = -1$ 且 $ab = -n$ ，因此 $n = -ab = -a(-a - 1) = a(a + 1).$ 。 3. 题目要求 $1 \le n \le 1000.$ 。 4. 所以 $a$ 的可能取值为1、2、 $\dots,$ 、31，共 $\boxed{31}$ 个。（注： $a$ 也可取 $-32,$ 、 $-31,$ 、 $\dots,$ 、 $-2,$ ，但这些值对应的 $n.$ 与前面重复。）

小红做完新题目后，休息一下，不学数学了。她没有新的读物，有点坐不住。她开始觉得小明散落在家用车里的纸张很碍眼。其中几张被撕破了，碎纸片撒了一地。小红厌倦了总让小明自己收拾，就花几分钟把小明的废纸扔进了垃圾桶。“我觉得这样挺公平。”小华鼓励地说。小红在收拾小明的碎纸时，

根据韦达定理，已知 $r_1, r_2, \cdots r_n$ 是该多项式的根，则有 $\sum_{i=1}^n r_i = -a_{n-1}$ 和 $r_1r_2 + r_1r_3 \cdots r_{n-1}r_n = a_{n-2}$ 。由方程 $\sum_{i=1}^n r_i = -a_{n-1}$ ，两边平方并代入得

\begin{aligned} \sum_{i=1}^n r_i^2 + 2(r_1r_2 + r_1r_3 \cdots r_{n-1}r_n) &= (a_{n-1})^2 \\ \sum_{i=1}^n r_i^2 + 2a_{n-2} &= (-a_{n-2})^2 \\ \sum_{i=1}^n r_i^2 &= (a_{n-2})^2 - 2a_{n-2} \end{aligned}

要求 $\sum_{i=1}^n r_i^2$ 的最小值，需先求 $(a_{n-2})^2 - 2a_{n-2}$ 的最小值。该二次函数的最小值为 $-1$ ，因此平方和的最小值的绝对值为 $\boxed{1}$ 。

✏️ 练习

将 $(x^2 + 3x + 2)(x^2 + 7x + 12) + (x^2 + 5x - 6)$ 分解为两个非常数多项式的乘积。