公式法分解是因式分解的重要方法之一，主要利用乘法公式的逆向思维来分解多项式。初中阶段最常用的是平方差公式和完全平方公式。

平方差公式：两个数的平方差等于这两个数的和与差的积，即

例如，$x^2 - 9$ 可看作 $x^2 - 3^2$，所以可分解为 $(x + 3)(x - 3)$。

完全平方公式有两种形式：

• 和的完全平方：$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
• 差的完全平方：$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

反过来用于因式分解时，若一个三项式满足“首平方、尾平方、中间项是首尾乘积的两倍”，就可以写成完全平方的形式。例如，$x^2 + 6x + 9 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = (x + 3)^2$。

使用公式法前，务必先检查是否可以提取公因式；有时还需多次使用公式或结合其他方法。

• 平方差公式：$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$
  示例：$4x^2 - 25 = (2x)^2 - 5^2 = (2x + 5)(2x - 5)$

• 完全平方公式（和）：$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$
  示例：$x^2 + 8x + 16 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 = (x + 4)^2$

• 完全平方公式（差）：$a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$
  示例：$9y^2 - 12y + 4 = (3y)^2 - 2 \cdot 3y \cdot 2 + 2^2 = (3y - 2)^2$

例题1（基础）：分解因式 $x^2 - 16$。

解：

1. 观察式子，发现是两项，且都是平方形式：$x^2 = (x)^2$，$16 = 4^2$。
2. 符合平方差公式 $a^2 - b^2$ 的结构，其中 $a = x$，$b = 4$。
3. 应用公式：$x^2 - 16 = (x + 4)(x - 4)$。

例题2（进阶）：分解因式 $2x^2 + 12x + 18$。

解：

1. 先观察是否有公因式。各项系数有公因数2，提取得：

2. 括号内三项式 $x^2 + 6x + 9$ 检查是否为完全平方：
   • 首项 $x^2 = (x)^2$
   • 末项 $9 = 3^2$
   • 中间项 $6x = 2 \cdot x \cdot 3$，符合完全平方结构。
3. 所以 $x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$。
4. 最终结果：$2(x + 3)^2$。

• 混淆平方差与完全平方的结构：平方差是两项（如 $a^2 - b^2$），完全平方是三项（如 $a^2 \pm 2ab + b^2$）。解题前先数项数。

• 忽略提取公因式：如 $3x^2 - 12$ 应先提3，变成 $3(x^2 - 4)$，再用平方差。直接套公式会漏解。

• 符号错误：在完全平方中，中间项符号决定括号内是“+”还是“−”。例如 $x^2 - 10x + 25 = (x - 5)^2$，不是 $(x + 5)^2$。

• 误判非平方项：如 $x^2 - 6$ 不是平方差，因为6不是完全平方数，不能直接用公式分解。

• 忘记检查是否还能继续分解：如 $(x^2 - 4)$ 分解成 $(x + 2)(x - 2)$ 后就完成，但若写成 $(x^2 - 4)$ 就没分解彻底。