因为这个多项式没有常数项，所以我们可以直接从每一项中提取公因式$x$： $x(6x^3+19x^2-51x+20),$，得到第一个根$x=0$。 令$g(x) = 6x^3+19x^2-51x+20$，那么原多项式的其余根就是$g(x)$的根。 尝试几个简单的数值，发现$g(0) = 20 > 0$和$g(1) = 6+19-51+20 = -6<0$。 因此，$g(x)$在$0$和$1$之间必有一个根。 根据有理根定理，如果$g(p/q) = 0$，那么$p$必须整除$20$，且$q$必须整除$6$。

检查形如$p/q$的有理数，其中$p$整除$20$，$q$整除$6$，且$p/q$在$0$和$1$之间，我们发现： $\begin{aligned} g\left(\frac{1}{2}\right) &= 6\cdot\frac{1}{8}+19\cdot\frac{1}{4}-51\cdot\frac{1}{2}+20 = 0. \end{aligned}$ 这说明$2x - 1$是$g(x).$的一个因式。用$2x-1$去除【MATH_25】，得到$g(x) = (2x-1)(3x^2+11x-20)$。

二次式$3x^2+11x-20$可分解为$(3x-4)(x+5),$，所以最后两个根是$4/3$和$-5$。

因此，$6x^4+19x^3-51x^2+20x$的根是$\boxed{0, \frac{1}{2}, \frac{4}{3}, -5}$。

因为这个多项式没有常数项，所以我们可以直接从每一项中提取公因式$x$： $x(6x^3+19x^2-51x+20),$，得到第一个根$x=0$。 令$g(x) = 6x^3+19x^2-51x+20$，那么原多项式的其余根就是$g(x)$的根。 尝试一些简单的数值，我们发现$g(0) = 20 > 0$和$g(1) = 6+19-51+20 = -6<0$。 因此，$g(x)$在$0$和$1$之间必有一个根。 根据有理根定理，如果$g(p/q) = 0$，那么$p$必须整除$20$，且$q$必须整除$6$。

检查形如$p/q$的有理数（其中$p$整除$20$，$q$整除$6$，且$p/q$在$0$和$1$之间），我们发现： $\begin{aligned} g\left(\frac{1}{2}\right) &= 6\cdot\frac{1}{8}+19\cdot\frac{1}{4}-51\cdot\frac{1}{2}+20 = 0. \end{aligned}$ 这说明$2x - 1$是$g(x).$的一个因式。用$2x-1$去除，得到$g(x) = (2x-1)(3x^2+11x-20)$。

二次式$3x^2+11x-20$可分解为$(3x-4)(x+5),$，所以最后两个根是$4/3$和$-5$。

因此，$6x^4+19x^3-51x^2+20x$的根是$\boxed{0, \frac{1}{2}, \frac{4}{3}, -5}$。