反比例函数的一般形式是 $y = \frac{k}{x}$（其中 $k \neq 0$，$x \neq 0$）。它的图像是双曲线，分布在两个象限中。

增减性：当 $k > 0$ 时，函数图像位于第一、第三象限，在每个象限内，$y$ 随 $x$ 的增大而减小；当 $k < 0$ 时，图像位于第二、第四象限，在每个象限内，$y$ 随 $x$ 的增大而增大。注意：不能说“在整个定义域上单调”，因为函数在 $x=0$ 处不连续。

对称性：反比例函数的图像是中心对称图形，对称中心是原点 $(0, 0)$。也就是说，若点 $(a, b)$ 在图像上，则点 $(-a, -b)$ 也在图像上。此外，当 $|k|$ 相同时，图像关于直线 $y = x$ 或 $y = -x$ 对称（但初中阶段主要掌握中心对称即可）。

理解这些性质有助于我们画图、判断函数值大小关系以及解决实际问题。

• 反比例函数表达式：$y = \dfrac{k}{x}$（$k \neq 0$）

  • 示例：$y = \dfrac{6}{x}$ 是反比例函数，$k = 6 > 0$

• 增减性规律：

  • 若 $k > 0$，在每一象限内，$x$ 增大则 $y$ 减小
  • 若 $k < 0$，在每一象限内，$x$ 增大则 $y$ 增大
  • 示例：$y = \dfrac{-4}{x}$ 中，$k = -4 < 0$，在第二象限（如 $x = -2 \to x = -1$），$y$ 从 $2$ 变为 $4$，即增大

• 对称性：图像关于原点对称

  • 示例：若 $(2, 3)$ 在 $y = \dfrac{6}{x}$ 上，则 $(-2, -3)$ 也在其图像上

例题1：已知反比例函数 $y = \dfrac{8}{x}$，判断当 $x_1 = 2$，$x_2 = 4$ 时，对应的函数值 $y_1$ 与 $y_2$ 的大小关系。

解：

1. 因为 $k = 8 > 0$，所以函数在第一象限内 $y$ 随 $x$ 增大而减小。
2. $x_1 = 2 < x_2 = 4$，且都在第一象限。
3. 所以 $y_1 > y_2$。
4. 验算：$y_1 = \dfrac{8}{2} = 4$，$y_2 = \dfrac{8}{4} = 2$，确实 $4 > 2$。

例题2：反比例函数 $y = \dfrac{k}{x}$ 的图像经过点 $(-3, 2)$。 (1) 求 $k$ 的值； (2) 判断该函数在每个象限内的增减性； (3) 写出图像关于原点对称的一个点。

解： (1) 将点 $(-3, 2)$ 代入 $y = \dfrac{k}{x}$，得 $2 = \dfrac{k}{-3}$，解得 $k = -6$。 (2) 因为 $k = -6 < 0$，所以图像在第二、四象限，且在每个象限内，$y$ 随 $x$ 增大而增大。 (3) 点 $(-3, 2)$ 关于原点的对称点是 $(3, -2)$，该点也在图像上。

• 错误1：认为反比例函数在整个定义域上单调。例如说“$y = \frac{1}{x}$ 是减函数”。

  • 避免方法：强调“在每一象限内”讨论增减性，因为函数在 $x=0$ 处断开。

• 错误2：混淆 $k>0$ 和 $k<0$ 时的增减方向。

  • 避免方法：记住口诀：“k正减，k负增（在各自象限内）”，并结合具体数值验证。

• 错误3：忽略对称性只适用于图像上的点，误以为任意点都对称。

  • 避免方法：明确只有满足 $y = \frac{k}{x}$ 的点才具有关于原点的对称性。

• 错误4：在比较函数值大小时，未考虑两点是否在同一象限。

  • 避免方法：先判断两点所在象限，若不在同一象限，不能直接用增减性比较（例如 $x_1 = -1$, $x_2 = 1$ 时，$y_1 = -8$, $y_2 = 8$，显然不能用单调性）。

• 错误5：写函数表达式时遗漏 $x \neq 0$ 的条件。

  • 避免方法：始终强调反比例函数的定义域是 $x \neq 0$。