分数四则运算是指对两个或多个分数进行加、减、乘、除的运算。加减法的关键是通分：只有当分母相同时，才能直接对分子进行加减。例如，$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd}$。若分母相同，则直接相加减分子，如 $\frac{2}{5} + \frac{1}{5} = \frac{3}{5}$。

乘法相对简单：分子乘分子，分母乘分母，即 $\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$。计算前可先约分，使结果更简洁。

除法要转化为乘法：除以一个分数等于乘以它的倒数，即 $\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc}$（其中 $c \neq 0$）。

在进行混合运算时，应遵循运算顺序：先算括号内，再算乘除，最后算加减。带分数需先化为假分数再参与运算，例如 $1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$。

• 同分母加减：$\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}$

  • 示例：$\frac{3}{7} + \frac{2}{7} = \frac{5}{7}$

• 异分母加减：$\frac{a}{b} \pm \frac{c}{d} = \frac{ad \pm bc}{bd}$

  • 示例：$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{1\times3 + 1\times2}{2\times3} = \frac{5}{6}$

• 乘法：$\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$

  • 示例：$\frac{2}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{8}{15}$

• 除法：$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc}$

  • 示例：$\frac{3}{4} \div \frac{2}{5} = \frac{3}{4} \times \frac{5}{2} = \frac{15}{8}$

例题1（基础）：计算 $\frac{2}{3} + \frac{5}{6} - \frac{1}{2}$。

解：

1. 找最小公倍数：3, 6, 2 的最小公倍数是 6。
2. 通分：
   • $\frac{2}{3} = \frac{4}{6}$
   • $\frac{5}{6}$ 不变
   • $\frac{1}{2} = \frac{3}{6}$
3. 进行加减：$\frac{4}{6} + \frac{5}{6} - \frac{3}{6} = \frac{6}{6} = 1$

答：结果是 $1$。

例题2（进阶）：计算 $\left(1\frac{1}{4} \times \frac{2}{5}\right) \div \left(\frac{3}{8} - \frac{1}{4}\right)$。

解：

1. 将带分数化为假分数：$1\frac{1}{4} = \frac{5}{4}$
2. 先算括号内：
   • 左边：$\frac{5}{4} \times \frac{2}{5} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$
   • 右边：$\frac{3}{8} - \frac{1}{4} = \frac{3}{8} - \frac{2}{8} = \frac{1}{8}$
3. 再做除法：$\frac{1}{2} \div \frac{1}{8} = \frac{1}{2} \times \frac{8}{1} = \frac{8}{2} = 4$

答：结果是 $4$。

• 忘记通分直接加减分子分母：如错误地认为 $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{2}{5}$。避免方法：牢记加减必须先通分。

• 除法未转为乘倒数：如 $\frac{3}{4} \div \frac{1}{2} = \frac{3}{8}$（错误）。避免方法：除以分数 = 乘它的倒数。

• 带分数未化成假分数就运算：如直接用 $1\frac{1}{2} \times 2 = 2\frac{2}{2}$。避免方法：先将带分数化为假分数再计算。

• 约分不彻底或过早约分导致错误：如在加减法中错误约分。避免方法：加减法不能约分，乘除法可在计算前或后约分。

• 忽略运算顺序：如先算加减再算乘除。避免方法：严格按“先括号，再乘除，后加减”的顺序进行。